Examen National · Session normale

Mathématiques — Examen National 2024

2ème année Bac 4hBarème 20 ptsÉnoncé officiel
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Exercice 1

Exercice 1 — Analyse

Soit ff définie sur [1,+∞[[1,+\infty[ par f(1)=12f(1)=\tfrac12 et f(x)=ln⁡xx2−1f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}-1} pour x>1x>1. Pour x≥1x\ge1 on pose I(x)=∫1xt2−1t dtI(x)=\displaystyle\int_1^{x}\dfrac{t^{2}-1}{t}\,dt, J(x)=∫1xt2−1t2 dtJ(x)=\displaystyle\int_1^{x}\dfrac{t^{2}-1}{t^{2}}\,dt. Suite : a0∈[1,+∞[a_0\in[1,+\infty[, an+1=1+f(an)a_{n+1}=1+f(a_n), et aa la solution de f(x)=x−1f(x)=x-1 dans ]1,2[]1,2[.

  1. 1. ff est-elle continue à droite en 11 ?
    0.5 pt
    Aoui, lim⁡x→1+f(x)=12=f(1)\lim_{x\to1^+}f(x)=\tfrac12=f(1)
    Bnon
    Coui, mais limite =1=1
    Dnon, limite infinie
  2. 2. Que vaut lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) ?
    0.5 pt
    A00
    B12\tfrac12
    C+∞+\infty
    D11
  3. 3. En posant t=x−1t=\sqrt{x-1}, à quoi est égal ln⁡xx−1\dfrac{\ln x}{x-1} ?
    0.5 pt
    Aln⁡(1+t2)t2\dfrac{\ln(1+t^{2})}{t^{2}}
    Bln⁡(1+t)t\dfrac{\ln(1+t)}{t}
    Cln⁡(1+t2)t\dfrac{\ln(1+t^{2})}{t}
    Dln⁡tt2\dfrac{\ln t}{t^{2}}
  4. 4. Que vaut lim⁡x→1+ln⁡x−(x−1)(x−1)2\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{\ln x-(x-1)}{(x-1)^{2}} ?
    0.5 pt
    A−12-\tfrac12
    B00
    C−1-1
    D12\tfrac12
  5. 5. ff est-elle dérivable à droite en 11, et que vaut fd′(1)f'_d(1) ?
    1 pt
    Aoui, fd′(1)=−12f'_d(1)=-\tfrac12
    Boui, fd′(1)=0f'_d(1)=0
    Coui, fd′(1)=−1f'_d(1)=-1
    Dnon
  6. 6. Quel encadrement a-t-on pour I(x)I(x) et J(x)J(x) sur [1,+∞[[1,+\infty[ ?
    0.5 pt
    A0≤J(x)≤I(x)0\le J(x)\le I(x)
    B0≤I(x)≤J(x)0\le I(x)\le J(x)
    CI(x)≤J(x)≤0I(x)\le J(x)\le0
    DJ(x)≤0≤I(x)J(x)\le0\le I(x)
  7. 7. Que valent I(x)I(x) et J(x)J(x) ?
    0.5 pt
    AI(x)=x2−12−ln⁡x, J(x)=(x−1)2xI(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2}-\ln x,\ J(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x}
    BI(x)=(x−1)2x, J(x)=x2−12−ln⁡xI(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x},\ J(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2}-\ln x
    CI(x)=ln⁡x, J(x)=x−1I(x)=\ln x,\ J(x)=x-1
    DI(x)=x22, J(x)=xI(x)=\dfrac{x^{2}}{2},\ J(x)=x
  8. 8. Sur ]1,+∞[]1,+\infty[, le signe de f′(x)f'(x) est celui de :
    0.5 pt
    Ax2−1−2x2ln⁡xx^{2}-1-2x^{2}\ln x
    B2x2ln⁡x−x2+12x^{2}\ln x-x^{2}+1
    Cln⁡x\ln x
    Dx2−1x^{2}-1
  9. 9. Quel est le signe de f′(x)f'(x) sur ]1,+∞[]1,+\infty[ ?
    0.5 pt
    Af′(x)<0f'(x)<0
    Bf′(x)>0f'(x)>0
    Cf′(x)=0f'(x)=0
    Dle signe change
  10. 10. Quel est le sens de variation de ff sur [1,+∞[[1,+\infty[ ?
    0.5 pt
    Astrictement décroissante de 12\tfrac12 vers 00
    Bstrictement croissante
    Cconstante
    Ddécroissante puis croissante
  11. 11. L'équation f(x)=x−1f(x)=x-1 admet dans ]1,2[]1,2[ :
    0.75 pt
    Aune unique solution aa
    Baucune solution
    Cdeux solutions
    Dune infinité
  12. 12. Pour la suite an+1=1+f(an)a_{n+1}=1+f(a_n) (de point fixe aa), quelle inégalité a-t-on ?
    0.5 pt
    A∣an+1−a∣≤12∣an−a∣|a_{n+1}-a|\le\tfrac12|a_n-a|
    B∣an+1−a∣≤13∣an−a∣|a_{n+1}-a|\le\tfrac13|a_n-a|
    C∣an+1−a∣≤2∣an−a∣|a_{n+1}-a|\le2|a_n-a|
    D∣an+1−a∣≤∣an−a∣2|a_{n+1}-a|\le|a_n-a|^{2}
  13. 13. On en déduit, pour tout nn :
    0.5 pt
    A∣an−a∣≤(12)n∣a0−a∣|a_n-a|\le\left(\tfrac12\right)^{n}|a_0-a|
    B∣an−a∣≤(12)n|a_n-a|\le\left(\tfrac12\right)^{n}
    C∣an−a∣≤12n|a_n-a|\le\tfrac{1}{2n}
    D∣an−a∣≤12∣a0−a∣|a_n-a|\le\tfrac12|a_0-a|
  14. 14. Que peut-on conclure sur (an)(a_n) ?
    0.25 pt
    Aelle converge vers aa
    Belle diverge
    Celle converge vers 11
    Delle est constante
Exercice 2

Exercice 2 — Analyse

Soit FF définie sur [0,1][0,1] par F(x)=∫0xet2 dtF(x)=\displaystyle\int_0^{x} e^{t^{2}}\,dt. On note F−1F^{-1} sa réciproque et Sn=βn∑k=1nF−1 ⁣(kβn)S_n=\dfrac{\beta}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\!\left(\dfrac{k\beta}{n}\right).

  1. 1. Que peut-on dire de FF sur [0,1][0,1] ?
    0.5 pt
    Acontinue et strictement croissante (F′(x)=ex2>0F'(x)=e^{x^{2}}>0)
    Bdécroissante
    Cconstante
    Dnon dérivable
  2. 2. FF réalise une bijection de [0,1][0,1] vers :
    0.5 pt
    A[0,β][0,\beta] avec β=∫01et2dt\beta=\int_0^{1}e^{t^{2}}dt
    B[0,1][0,1]
    C[0,+∞[[0,+\infty[
    D[β,1][\beta,1]
  3. 3. Vers quoi converge (Sn)(S_n) ?
    0.5 pt
    Aℓ=∫0βF−1(u) du\ell=\displaystyle\int_0^{\beta}F^{-1}(u)\,du
    Bℓ=β\ell=\beta
    Cℓ=0\ell=0
    Dℓ=1\ell=1
  4. 4. Par le changement u=F(s)u=F(s), ℓ\ell vaut :
    0.5 pt
    A∫01s es2 ds\displaystyle\int_0^{1} s\,e^{s^{2}}\,ds
    B∫01es2 ds\displaystyle\int_0^{1} e^{s^{2}}\,ds
    C∫01s ds\displaystyle\int_0^{1} s\,ds
    D∫0βes2 ds\displaystyle\int_0^{\beta} e^{s^{2}}\,ds
  5. 5. On en déduit ℓ=\ell=
    0.5 pt
    Ae−12\dfrac{e-1}{2}
    Be−1e-1
    Ce2\dfrac{e}{2}
    D11
Exercice 3

Exercice 3 — Nombres complexes

Dans C\mathbb{C}, (Eα):z2−2iz+α=0(E_\alpha): z^{2}-2iz+\alpha=0, α∈C\alpha\in\mathbb{C}. On note z1,z2z_1,z_2 ses solutions, Ω(α)\Omega(\alpha), M1(z1)M_1(z_1), M2(z2)M_2(z_2).

  1. 1. Le discriminant de (Eα)(E_\alpha) est :
    0.25 pt
    AΔ=−4(1+α)\Delta=-4(1+\alpha)
    BΔ=4(1+α)\Delta=4(1+\alpha)
    CΔ=−4α\Delta=-4\alpha
    DΔ=4−α\Delta=4-\alpha
  2. 2. (Eα)(E_\alpha) admet deux solutions distinctes si et seulement si :
    0.25 pt
    Aα≠−1\alpha\ne-1
    Bα≠0\alpha\ne0
    Cα≠1\alpha\ne1
    Dα≠i\alpha\ne i
  3. 3. Que valent z1+z2z_1+z_2 et z1z2z_1z_2 ?
    0.5 pt
    Az1+z2=2i, z1z2=αz_1+z_2=2i,\ z_1z_2=\alpha
    Bz1+z2=−2i, z1z2=αz_1+z_2=-2i,\ z_1z_2=\alpha
    Cz1+z2=2i, z1z2=−αz_1+z_2=2i,\ z_1z_2=-\alpha
    Dz1+z2=α, z1z2=2iz_1+z_2=\alpha,\ z_1z_2=2i
  4. 4. Si α=m2−m\alpha=m^{2}-m (m∈Rm\in\mathbb{R}), les solutions sont :
    0.5 pt
    Az1,2=i(1±m2−m+1)z_{1,2}=i\big(1\pm\sqrt{m^{2}-m+1}\big)
    Bz1,2=1±im2−m+1z_{1,2}=1\pm i\sqrt{m^{2}-m+1}
    Cz1,2=±i mz_{1,2}=\pm i\,m
    Dz1,2=i(1±m)z_{1,2}=i(1\pm m)
  5. 5. Pourquoi OO, M1M_1, M2M_2 sont-ils alignés (cas α=m2−m\alpha=m^{2}-m) ?
    0.25 pt
    Acar z1z_1 et z2z_2 sont imaginaires purs (axe des ordonnées)
    Bcar z1=z2z_1=z_2
    Ccar z1+z2=0z_1+z_2=0
    Dcar z1z2=1z_1z_2=1
  6. 6. z1z2\dfrac{z_1}{z_2} est imaginaire pur si et seulement si :
    0.25 pt
    ARe(z1zˉ2)=0\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)=0
    BIm(z1zˉ2)=0\mathrm{Im}(z_1\bar z_2)=0
    Cz1=z2z_1=z_2
    D∣z1∣=∣z2∣|z_1|=|z_2|
  7. 7. Quelle identité relie ∣z1−z2∣|z_1-z_2|, ∣z1+z2∣|z_1+z_2| et Re(z1zˉ2)\mathrm{Re}(z_1\bar z_2) ?
    0.5 pt
    A∣z1−z2∣2=∣z1+z2∣2−4Re(z1zˉ2)|z_1-z_2|^{2}=|z_1+z_2|^{2}-4\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)
    B∣z1−z2∣2=∣z1+z2∣2+4Re(z1zˉ2)|z_1-z_2|^{2}=|z_1+z_2|^{2}+4\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)
    C∣z1−z2∣2=∣z1+z2∣2|z_1-z_2|^{2}=|z_1+z_2|^{2}
    D∣z1−z2∣=∣z1∣+∣z2∣|z_1-z_2|=|z_1|+|z_2|
  8. 8. On en déduit : z1z2\dfrac{z_1}{z_2} est imaginaire pur si et seulement si :
    0.25 pt
    A∣z1−z2∣=2|z_1-z_2|=2
    B∣z1−z2∣=1|z_1-z_2|=1
    C∣z1−z2∣=4|z_1-z_2|=4
    D∣z1−z2∣=0|z_1-z_2|=0
  9. 9. Que vaut z1−z2z_1-z_2 (à un signe près) ?
    0.5 pt
    A2i1+α2i\sqrt{1+\alpha}
    B21+α2\sqrt{1+\alpha}
    Ci1+αi\sqrt{1+\alpha}
    D2i(1+α)2i(1+\alpha)
  10. 10. L'ensemble Γ\Gamma des points Ω(α)\Omega(\alpha) pour lesquels OM1M2OM_1M_2 est rectangle en OO est :
    0.25 pt
    Ale cercle de centre −1-1 et de rayon 11 (privé de −1-1 et 00)
    Bla droite Re(α)=−1\mathrm{Re}(\alpha)=-1
    Cle cercle de centre 00 et rayon 11
    Dle segment [−1,0][-1,0]
Exercice 4

Exercice 4 — Structures algébriques

Sur C×C\mathbb{C}\times\mathbb{C} on définit la loi TT par (a,b) T (c,d)=(ad+c, bd)(a,b)\,T\,(c,d)=(ad+c,\ bd).

  1. 1. Que valent (1,2i) T (2,i)(1,2i)\,T\,(2,i) et (1,i) T (2,i)(1,i)\,T\,(2,i) ?
    0.5 pt
    A(2+i, −2)(2+i,\,-2) et (2+i, −1)(2+i,\,-1)
    B(2+i, 2)(2+i,\,2) et (2+i, 1)(2+i,\,1)
    C(3i, −2)(3i,\,-2) et (3i, −1)(3i,\,-1)
    D(2+i, 2i)(2+i,\,2i) et (2+i, i)(2+i,\,i)
  2. 2. La loi TT est-elle commutative ?
    0.25 pt
    Anon
    Boui
    Cseulement sur R×R\mathbb{R}\times\mathbb{R}
    Dseulement si b=db=d
  3. 3. La loi TT est :
    0.5 pt
    Aassociative
    Bnon associative
    Ccommutative
    Dsans élément neutre
  4. 4. L'élément neutre pour TT est :
    0.25 pt
    A(0,1)(0,1)
    B(1,0)(1,0)
    C(1,1)(1,1)
    D(0,0)(0,0)
  5. 5. Le symétrique de (a,b)(a,b) (avec b≠0b\ne0) pour TT est :
    0.5 pt
    A(−ab, 1b)\left(-\dfrac{a}{b},\ \dfrac1b\right)
    B(ab, 1b)\left(\dfrac{a}{b},\ \dfrac1b\right)
    C(−a, −b)(-a,\ -b)
    D(−1b, −ab)\left(-\dfrac1b,\ -\dfrac{a}{b}\right)
  6. 6. Que peut-on dire de (C×C∗,T)(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*},T) ?
    0.5 pt
    Ac'est un groupe non commutatif
    Bc'est un groupe commutatif
    Cce n'est pas un groupe
    Dc'est un anneau
  7. 7. R×R∗\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*} est-il stable par TT ?
    0.5 pt
    Aoui : (ad+c,bd)∈R×R∗(ad+c,bd)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*}
    Bnon
    Cseulement si d=1d=1
    Dnon, bdbd peut être nul
  8. 8. (R×R∗,T)(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*},T) est :
    0.5 pt
    Aun sous-groupe de (C×C∗,T)(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*},T)
    Bnon stable
    Cun groupe commutatif
    Dle groupe trivial
Exercice 5

Exercice 5 — Arithmétique

pp et qq sont deux nombres premiers distincts et rr un entier naturel premier avec pp et avec qq.

  1. 1. Que donne le petit théorème de Fermat pour rr ?
    1 pt
    Ap∣rp−1−1p\mid r^{p-1}-1 et q∣rq−1−1q\mid r^{q-1}-1
    Bp∣rp−1p\mid r^{p}-1 et q∣rq−1q\mid r^{q}-1
    Cp∣rp−1+1p\mid r^{p-1}+1
    Dpq∣r−1pq\mid r-1
  2. 2. On en déduit que pp et qq divisent :
    0.5 pt
    Ar(p−1)(q−1)−1r^{(p-1)(q-1)}-1
    Brp+q−1r^{p+q}-1
    Crpq−1r^{pq}-1
    Dr(p−1)(q−1)+1r^{(p-1)(q-1)}+1
  3. 3. On en déduit :
    0.5 pt
    Apq∣r(p−1)(q−1)−1pq\mid r^{(p-1)(q-1)}-1
    Bpq∣rp−1−1pq\mid r^{p-1}-1
    Cp+q∣r(p−1)(q−1)−1p+q\mid r^{(p-1)(q-1)}-1
    Drien
  4. 4. L'équation r192≡3 [221]r^{192}\equiv3\ [221] (avec 221=13×17221=13\times17) admet :
    1 pt
    Aaucune solution
    Bune unique solution
    C221 solutions
    Dexactement deux solutions

Comprends chaque question, pas seulement la réponse

Corrigé détaillé + IA qui réexplique à ton niveau, en 5 modes.

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