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Correction — Mathématiques 2024

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\frac{\ln x}{x-1}\to1 et \frac{1}{x+1}\to\frac12, donc f(x)=\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac{1}{x+1}\to\frac12=f(1).…

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Exercice 1

Exercice 1 — Analyse

1. ff est-elle continue à droite en 11 ?
  • A.oui, lim⁡x→1+f(x)=12=f(1)\lim_{x\to1^+}f(x)=\tfrac12=f(1)
  • B.non
  • C.oui, mais limite =1=1
  • D.non, limite infinie
Réponse et explication dans l'app
2. Que vaut lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) ?
  • A.00
  • B.12\tfrac12
  • C.+∞+\infty
  • D.11
Réponse et explication dans l'app
3. En posant t=x−1t=\sqrt{x-1}, à quoi est égal ln⁡xx−1\dfrac{\ln x}{x-1} ?
  • A.ln⁡(1+t2)t2\dfrac{\ln(1+t^{2})}{t^{2}}
  • B.ln⁡(1+t)t\dfrac{\ln(1+t)}{t}
  • C.ln⁡(1+t2)t\dfrac{\ln(1+t^{2})}{t}
  • D.ln⁡tt2\dfrac{\ln t}{t^{2}}
Réponse et explication dans l'app
4. Que vaut lim⁡x→1+ln⁡x−(x−1)(x−1)2\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{\ln x-(x-1)}{(x-1)^{2}} ?
  • A.−12-\tfrac12
  • B.00
  • C.−1-1
  • D.12\tfrac12
Réponse et explication dans l'app
5. ff est-elle dérivable à droite en 11, et que vaut fd′(1)f'_d(1) ?
  • A.oui, fd′(1)=−12f'_d(1)=-\tfrac12
  • B.oui, fd′(1)=0f'_d(1)=0
  • C.oui, fd′(1)=−1f'_d(1)=-1
  • D.non
Réponse et explication dans l'app
6. Quel encadrement a-t-on pour I(x)I(x) et J(x)J(x) sur [1,+∞[[1,+\infty[ ?
  • A.0≤J(x)≤I(x)0\le J(x)\le I(x)
  • B.0≤I(x)≤J(x)0\le I(x)\le J(x)
  • C.I(x)≤J(x)≤0I(x)\le J(x)\le0
  • D.J(x)≤0≤I(x)J(x)\le0\le I(x)
Réponse et explication dans l'app
7. Que valent I(x)I(x) et J(x)J(x) ?
  • A.I(x)=x2−12−ln⁡x, J(x)=(x−1)2xI(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2}-\ln x,\ J(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x}
  • B.I(x)=(x−1)2x, J(x)=x2−12−ln⁡xI(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x},\ J(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2}-\ln x
  • C.I(x)=ln⁡x, J(x)=x−1I(x)=\ln x,\ J(x)=x-1
  • D.I(x)=x22, J(x)=xI(x)=\dfrac{x^{2}}{2},\ J(x)=x
Réponse et explication dans l'app
8. Sur ]1,+∞[]1,+\infty[, le signe de f′(x)f'(x) est celui de :
  • A.x2−1−2x2ln⁡xx^{2}-1-2x^{2}\ln x
  • B.2x2ln⁡x−x2+12x^{2}\ln x-x^{2}+1
  • C.ln⁡x\ln x
  • D.x2−1x^{2}-1
Réponse et explication dans l'app
9. Quel est le signe de f′(x)f'(x) sur ]1,+∞[]1,+\infty[ ?
  • A.f′(x)<0f'(x)<0
  • B.f′(x)>0f'(x)>0
  • C.f′(x)=0f'(x)=0
  • D.le signe change
Réponse et explication dans l'app
10. Quel est le sens de variation de ff sur [1,+∞[[1,+\infty[ ?
  • A.strictement décroissante de 12\tfrac12 vers 00
  • B.strictement croissante
  • C.constante
  • D.décroissante puis croissante
Réponse et explication dans l'app
11. L'équation f(x)=x−1f(x)=x-1 admet dans ]1,2[]1,2[ :
  • A.une unique solution aa
  • B.aucune solution
  • C.deux solutions
  • D.une infinité
Réponse et explication dans l'app
12. Pour la suite an+1=1+f(an)a_{n+1}=1+f(a_n) (de point fixe aa), quelle inégalité a-t-on ?
  • A.∣an+1−a∣≤12∣an−a∣|a_{n+1}-a|\le\tfrac12|a_n-a|
  • B.∣an+1−a∣≤13∣an−a∣|a_{n+1}-a|\le\tfrac13|a_n-a|
  • C.∣an+1−a∣≤2∣an−a∣|a_{n+1}-a|\le2|a_n-a|
  • D.∣an+1−a∣≤∣an−a∣2|a_{n+1}-a|\le|a_n-a|^{2}
Réponse et explication dans l'app
13. On en déduit, pour tout nn :
  • A.∣an−a∣≤(12)n∣a0−a∣|a_n-a|\le\left(\tfrac12\right)^{n}|a_0-a|
  • B.∣an−a∣≤(12)n|a_n-a|\le\left(\tfrac12\right)^{n}
  • C.∣an−a∣≤12n|a_n-a|\le\tfrac{1}{2n}
  • D.∣an−a∣≤12∣a0−a∣|a_n-a|\le\tfrac12|a_0-a|
Réponse et explication dans l'app
14. Que peut-on conclure sur (an)(a_n) ?
  • A.elle converge vers aa
  • B.elle diverge
  • C.elle converge vers 11
  • D.elle est constante
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Exercice 2

Exercice 2 — Analyse

1. Que peut-on dire de FF sur [0,1][0,1] ?
  • A.continue et strictement croissante (F′(x)=ex2>0F'(x)=e^{x^{2}}>0)
  • B.décroissante
  • C.constante
  • D.non dérivable
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2. FF réalise une bijection de [0,1][0,1] vers :
  • A.[0,β][0,\beta] avec β=∫01et2dt\beta=\int_0^{1}e^{t^{2}}dt
  • B.[0,1][0,1]
  • C.[0,+∞[[0,+\infty[
  • D.[β,1][\beta,1]
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3. Vers quoi converge (Sn)(S_n) ?
  • A.ℓ=∫0βF−1(u) du\ell=\displaystyle\int_0^{\beta}F^{-1}(u)\,du
  • B.ℓ=β\ell=\beta
  • C.ℓ=0\ell=0
  • D.ℓ=1\ell=1
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4. Par le changement u=F(s)u=F(s), ℓ\ell vaut :
  • A.∫01s es2 ds\displaystyle\int_0^{1} s\,e^{s^{2}}\,ds
  • B.∫01es2 ds\displaystyle\int_0^{1} e^{s^{2}}\,ds
  • C.∫01s ds\displaystyle\int_0^{1} s\,ds
  • D.∫0βes2 ds\displaystyle\int_0^{\beta} e^{s^{2}}\,ds
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5. On en déduit ℓ=\ell=
  • A.e−12\dfrac{e-1}{2}
  • B.e−1e-1
  • C.e2\dfrac{e}{2}
  • D.11
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Exercice 3

Exercice 3 — Nombres complexes

1. Le discriminant de (Eα)(E_\alpha) est :
  • A.Δ=−4(1+α)\Delta=-4(1+\alpha)
  • B.Δ=4(1+α)\Delta=4(1+\alpha)
  • C.Δ=−4α\Delta=-4\alpha
  • D.Δ=4−α\Delta=4-\alpha
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2. (Eα)(E_\alpha) admet deux solutions distinctes si et seulement si :
  • A.α≠−1\alpha\ne-1
  • B.α≠0\alpha\ne0
  • C.α≠1\alpha\ne1
  • D.α≠i\alpha\ne i
Réponse et explication dans l'app
3. Que valent z1+z2z_1+z_2 et z1z2z_1z_2 ?
  • A.z1+z2=2i, z1z2=αz_1+z_2=2i,\ z_1z_2=\alpha
  • B.z1+z2=−2i, z1z2=αz_1+z_2=-2i,\ z_1z_2=\alpha
  • C.z1+z2=2i, z1z2=−αz_1+z_2=2i,\ z_1z_2=-\alpha
  • D.z1+z2=α, z1z2=2iz_1+z_2=\alpha,\ z_1z_2=2i
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4. Si α=m2−m\alpha=m^{2}-m (m∈Rm\in\mathbb{R}), les solutions sont :
  • A.z1,2=i(1±m2−m+1)z_{1,2}=i\big(1\pm\sqrt{m^{2}-m+1}\big)
  • B.z1,2=1±im2−m+1z_{1,2}=1\pm i\sqrt{m^{2}-m+1}
  • C.z1,2=±i mz_{1,2}=\pm i\,m
  • D.z1,2=i(1±m)z_{1,2}=i(1\pm m)
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5. Pourquoi OO, M1M_1, M2M_2 sont-ils alignés (cas α=m2−m\alpha=m^{2}-m) ?
  • A.car z1z_1 et z2z_2 sont imaginaires purs (axe des ordonnées)
  • B.car z1=z2z_1=z_2
  • C.car z1+z2=0z_1+z_2=0
  • D.car z1z2=1z_1z_2=1
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6. z1z2\dfrac{z_1}{z_2} est imaginaire pur si et seulement si :
  • A.Re(z1zˉ2)=0\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)=0
  • B.Im(z1zˉ2)=0\mathrm{Im}(z_1\bar z_2)=0
  • C.z1=z2z_1=z_2
  • D.∣z1∣=∣z2∣|z_1|=|z_2|
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7. Quelle identité relie ∣z1−z2∣|z_1-z_2|, ∣z1+z2∣|z_1+z_2| et Re(z1zˉ2)\mathrm{Re}(z_1\bar z_2) ?
  • A.∣z1−z2∣2=∣z1+z2∣2−4Re(z1zˉ2)|z_1-z_2|^{2}=|z_1+z_2|^{2}-4\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)
  • B.∣z1−z2∣2=∣z1+z2∣2+4Re(z1zˉ2)|z_1-z_2|^{2}=|z_1+z_2|^{2}+4\mathrm{Re}(z_1\bar z_2)
  • C.∣z1−z2∣2=∣z1+z2∣2|z_1-z_2|^{2}=|z_1+z_2|^{2}
  • D.∣z1−z2∣=∣z1∣+∣z2∣|z_1-z_2|=|z_1|+|z_2|
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8. On en déduit : z1z2\dfrac{z_1}{z_2} est imaginaire pur si et seulement si :
  • A.∣z1−z2∣=2|z_1-z_2|=2
  • B.∣z1−z2∣=1|z_1-z_2|=1
  • C.∣z1−z2∣=4|z_1-z_2|=4
  • D.∣z1−z2∣=0|z_1-z_2|=0
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9. Que vaut z1−z2z_1-z_2 (à un signe près) ?
  • A.2i1+α2i\sqrt{1+\alpha}
  • B.21+α2\sqrt{1+\alpha}
  • C.i1+αi\sqrt{1+\alpha}
  • D.2i(1+α)2i(1+\alpha)
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10. L'ensemble Γ\Gamma des points Ω(α)\Omega(\alpha) pour lesquels OM1M2OM_1M_2 est rectangle en OO est :
  • A.le cercle de centre −1-1 et de rayon 11 (privé de −1-1 et 00)
  • B.la droite Re(α)=−1\mathrm{Re}(\alpha)=-1
  • C.le cercle de centre 00 et rayon 11
  • D.le segment [−1,0][-1,0]
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Exercice 4

Exercice 4 — Structures algébriques

1. Que valent (1,2i) T (2,i)(1,2i)\,T\,(2,i) et (1,i) T (2,i)(1,i)\,T\,(2,i) ?
  • A.(2+i, −2)(2+i,\,-2) et (2+i, −1)(2+i,\,-1)
  • B.(2+i, 2)(2+i,\,2) et (2+i, 1)(2+i,\,1)
  • C.(3i, −2)(3i,\,-2) et (3i, −1)(3i,\,-1)
  • D.(2+i, 2i)(2+i,\,2i) et (2+i, i)(2+i,\,i)
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2. La loi TT est-elle commutative ?
  • A.non
  • B.oui
  • C.seulement sur R×R\mathbb{R}\times\mathbb{R}
  • D.seulement si b=db=d
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3. La loi TT est :
  • A.associative
  • B.non associative
  • C.commutative
  • D.sans élément neutre
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4. L'élément neutre pour TT est :
  • A.(0,1)(0,1)
  • B.(1,0)(1,0)
  • C.(1,1)(1,1)
  • D.(0,0)(0,0)
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5. Le symétrique de (a,b)(a,b) (avec b≠0b\ne0) pour TT est :
  • A.(−ab, 1b)\left(-\dfrac{a}{b},\ \dfrac1b\right)
  • B.(ab, 1b)\left(\dfrac{a}{b},\ \dfrac1b\right)
  • C.(−a, −b)(-a,\ -b)
  • D.(−1b, −ab)\left(-\dfrac1b,\ -\dfrac{a}{b}\right)
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6. Que peut-on dire de (C×C∗,T)(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*},T) ?
  • A.c'est un groupe non commutatif
  • B.c'est un groupe commutatif
  • C.ce n'est pas un groupe
  • D.c'est un anneau
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7. R×R∗\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*} est-il stable par TT ?
  • A.oui : (ad+c,bd)∈R×R∗(ad+c,bd)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*}
  • B.non
  • C.seulement si d=1d=1
  • D.non, bdbd peut être nul
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8. (R×R∗,T)(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*},T) est :
  • A.un sous-groupe de (C×C∗,T)(\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{*},T)
  • B.non stable
  • C.un groupe commutatif
  • D.le groupe trivial
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Exercice 5

Exercice 5 — Arithmétique

1. Que donne le petit théorème de Fermat pour rr ?
  • A.p∣rp−1−1p\mid r^{p-1}-1 et q∣rq−1−1q\mid r^{q-1}-1
  • B.p∣rp−1p\mid r^{p}-1 et q∣rq−1q\mid r^{q}-1
  • C.p∣rp−1+1p\mid r^{p-1}+1
  • D.pq∣r−1pq\mid r-1
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2. On en déduit que pp et qq divisent :
  • A.r(p−1)(q−1)−1r^{(p-1)(q-1)}-1
  • B.rp+q−1r^{p+q}-1
  • C.rpq−1r^{pq}-1
  • D.r(p−1)(q−1)+1r^{(p-1)(q-1)}+1
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3. On en déduit :
  • A.pq∣r(p−1)(q−1)−1pq\mid r^{(p-1)(q-1)}-1
  • B.pq∣rp−1−1pq\mid r^{p-1}-1
  • C.p+q∣r(p−1)(q−1)−1p+q\mid r^{(p-1)(q-1)}-1
  • D.rien
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4. L'équation r192≡3 [221]r^{192}\equiv3\ [221] (avec 221=13×17221=13\times17) admet :
  • A.aucune solution
  • B.une unique solution
  • C.221 solutions
  • D.exactement deux solutions
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