Examen National · Session normale

Mathématiques — Examen National 2025

2ème année Bac 4hBarème 20 ptsÉnoncé officiel

Exercice 1

Exercice 1 — Analyse

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{2x}+e}$ , de courbe $(\Gamma)$ . Suite : $u_0\in\,]0,\tfrac12[$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ , $\alpha$ le point fixe de $f$ dans $]0,\tfrac12[$ . On pose aussi $S_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{e^{k/n}+e^{(n-k)/n}}$ .

1. Montrer que pour tout $x$ , $f(1-x)=f(x)$ . Cette relation traduit :
0.25 pt
Aque $(\Gamma)$ est symétrique par rapport à la droite $x=\tfrac12$
Bque $(\Gamma)$ a un centre de symétrie
Cque $f$ est impaire
Dque $f$ est périodique
2. Que valent $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ ?
0.5 pt
A $0$ et $0$
B $0$ et $+\infty$
C $+\infty$ et $0$
D $\tfrac12$ et $0$
3. Graphiquement, ces limites signifient :
0.5 pt
Ala droite $y=0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ et en $+\infty$
B $y=1$ est asymptote en $+\infty$
C $x=0$ est asymptote verticale
Dil n'y a pas d'asymptote
4. Que vaut $f'(x)$ ?
0.5 pt
A $f(x)\cdot\dfrac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}$
B $f(x)\cdot\dfrac{1+e^{2x-1}}{1-e^{2x-1}}$
C $f(x)(1-f(x))$
D $-f(x)\,e^{2x-1}$
5. Les variations de $f$ et son encadrement sont :
1 pt
A $f$ croît sur $]-\infty,\tfrac12]$ , décroît sur $[\tfrac12,+\infty[$ ; $0<f(x)<\tfrac12$
B $f$ strictement croissante ; $0<f<1$
C $f$ strictement décroissante ; $f>\tfrac12$
D $f$ constante
6. Le maximum de $f$ est atteint en $x=\tfrac12$ et vaut :
0.25 pt
A $\dfrac{1}{2\sqrt e}$
B $\dfrac12$
C $\dfrac1e$
D $\sqrt e$
7. Pour représenter $(\Gamma)$ , quels éléments utilise-t-on ?
0.5 pt
Al'axe de symétrie $x=\tfrac12$ , l'asymptote $y=0$ et le maximum $\big(\tfrac12,\tfrac{1}{2\sqrt e}\big)$
Bun centre de symétrie et une asymptote verticale
Cdeux asymptotes verticales
Daucun élément particulier
8. Que peut-on dire de $\displaystyle\int_0^{1/2} f$ et $\displaystyle\int_{1/2}^{1} f$ ?
0.5 pt
Ails sont égaux
Bleur somme est nulle
C $\int_0^{1/2}f=2\int_{1/2}^{1}f$
Dils sont opposés
9. On en déduit :
0.25 pt
A $\displaystyle\int_0^{1}f=2\int_0^{1/2}f$
B $\displaystyle\int_0^{1}f=\int_0^{1/2}f$
C $\displaystyle\int_0^{1}f=0$
D $\displaystyle\int_0^{1}f=\tfrac12$
10. Par le changement $t=e^{x}$ , $\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,dx$ devient :
0.25 pt
A $\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac{dt}{t^{2}+e}$
B $\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac{dt}{t^{2}}$
C $\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{t\,dt}{t^{2}+e}$
D $\displaystyle\int_0^{\sqrt e}\dfrac{dt}{t+e}$
11. On obtient $\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,dx=$
0.5 pt
A $\dfrac{1}{\sqrt e}\left(\arctan(\sqrt e)-\dfrac{\pi}{4}\right)$
B $\dfrac{1}{\sqrt e}\arctan(\sqrt e)$
C $\dfrac{1}{2}\ln(e^{2}+e)$
D $\arctan(\sqrt e)-\dfrac{\pi}{4}$
12. L'aire, en cm² (avec $\|\vec i\|=1$ cm, $\|\vec j\|=2$ cm), du domaine entre $(\Gamma)$ , $x=0$ , $x=1$ , $y=0$ est :
0.25 pt
A $\dfrac{4}{\sqrt e}\left(\arctan\sqrt e-\dfrac{\pi}{4}\right)$ cm²
B $\dfrac{1}{\sqrt e}\left(\arctan\sqrt e-\dfrac{\pi}{4}\right)$ cm²
C $\arctan\sqrt e$ cm²
D $2$ cm²
13. Pour la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ , montrer d'abord que sur $\mathbb{R}$ :
0.5 pt
A $|f'(x)|\le f(x)$
B $|f'(x)|\ge f(x)$
C $f'(x)=f(x)$
D $|f'(x)|\le\tfrac12 f(x)$
14. Sur $[0,\tfrac12]$ , on a :
0.5 pt
A $0\le f'(x)<\tfrac12$
B $-\tfrac12<f'(x)\le0$
C $f'(x)>\tfrac12$
D $f'(x)=0$
15. La fonction $g(x)=f(x)-x$ est :
0.25 pt
Astrictement décroissante sur $\mathbb{R}$
Bstrictement croissante
Cconstante
Dnon monotone
16. L'équation $f(x)=x$ admet dans $]0,\tfrac12[$ :
0.5 pt
Aun unique réel $\alpha$
Baucune solution
Cdeux solutions
Dune infinité
17. Pour la suite $(u_n)$ , on a :
0.5 pt
A $0<u_n<\tfrac12$ pour tout $n$
B $u_n>\tfrac12$
C $u_n<0$
D $u_n=\alpha$ pour tout $n$
18. Quelle inégalité relie $|u_{n+1}-\alpha|$ et $|u_n-\alpha|$ ?
0.5 pt
A $|u_{n+1}-\alpha|\le\tfrac12|u_n-\alpha|$
B $|u_{n+1}-\alpha|\le|u_n-\alpha|^{2}$
C $|u_{n+1}-\alpha|\le2|u_n-\alpha|$
D $|u_{n+1}-\alpha|\le\tfrac13|u_n-\alpha|$
19. On en déduit, pour tout $n$ :
0.5 pt
A $|u_n-\alpha|\le\left(\tfrac12\right)^{n+1}$
B $|u_n-\alpha|\le\left(\tfrac12\right)^{n}$
C $|u_n-\alpha|\le\tfrac1{2n}$
D $|u_n-\alpha|\le\tfrac12$
20. La suite $(u_n)$ :
0.25 pt
Aconverge vers $\alpha$
Bdiverge
Cconverge vers $0$
Dconverge vers $\tfrac12$
21. On peut écrire $S_n=$
0.25 pt
A $\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\,f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
B $\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
C $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
D $\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
22. On a l'égalité :
0.5 pt
A $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=\int_0^{1/2} f(x)\,dx$
B $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=\int_0^{1} f(x)\,dx$
C $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=0$
D $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=\tfrac12\int_0^1 f$
23. La suite $(S_n)$ converge vers :
0.5 pt
A $\dfrac{1}{\sqrt e}\left(\arctan\sqrt e-\dfrac{\pi}{4}\right)$
B $0$
C $\dfrac12$
D $\dfrac{1}{\sqrt e}$

Exercice 2

Exercice 2 — Nombres complexes

Soit $\alpha\in[0,2\pi[$ . $(E_\alpha): z^{2}-2^{\alpha}e^{i\alpha}(1+2i)z+i\,2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha}=0$ , de solutions $a,b$ avec $|a|\le|b|$ . On pose $\lambda=\mathrm{Im}(b/a)$ , et $A(a),B(b),H(h)$ avec $\tfrac1h=\tfrac1a+\tfrac1b$ ; $I$ milieu de $[OH]$ , $J$ milieu de $[HB]$ .

1. Le discriminant de $(E_\alpha)$ est :
0.25 pt
A $\Delta_\alpha=\big(2^{\alpha}e^{i\alpha}(1-2i)\big)^{2}$
B $\Delta_\alpha=\big(2^{\alpha}e^{i\alpha}(1+2i)\big)^{2}$
C $\Delta_\alpha=-4$
D $\Delta_\alpha=2^{2\alpha}e^{2i\alpha}$
2. Les deux solutions (avec $|a|\le|b|$ ) sont :
0.5 pt
A $a=2^{\alpha}e^{i\alpha},\ b=2^{\alpha+1}i\,e^{i\alpha}$
B $a=2^{\alpha+1}i e^{i\alpha},\ b=2^{\alpha}e^{i\alpha}$
C $a=e^{i\alpha},\ b=2i e^{i\alpha}$
D $a=2^{\alpha}e^{i\alpha},\ b=-2^{\alpha}e^{i\alpha}$
3. Que vaut $\dfrac{b}{a}$ ?
0.25 pt
A $2i$ (imaginaire pur)
B $2$
C $i$
D $-2i$
4. Que vaut $\dfrac{h}{b-a}$ (ce qui donne $(OH)\perp(AB)$ ) ?
0.5 pt
A $-\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}\,i$
B $\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}$
C $\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}$
D $-\lambda i$
5. Que vaut $\dfrac{h-a}{b-a}$ (ce qui donne $H,A,B$ alignés) ?
0.5 pt
A $\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}$
B $\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}$
C $-\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}i$
D $\lambda$
6. Que vaut $\dfrac{n-m}{m-a}$ (affixes de $J$ et $I$ : $m$ pour $I$ , $n$ pour $J$ ) ?
0.5 pt
A $-\lambda i$
B $\lambda i$
C $\dfrac1\lambda i$
D $-\dfrac1{\lambda}i$
7. On en déduit :
0.5 pt
A $(OJ)\perp(AI)$ et $OJ=|\lambda|\,AI$
B $(OJ)\parallel(AI)$
C $OJ=AI$ seulement
D $(OJ)\perp(OA)$
8. Les points $K,I,H,J$ (où $K=(OJ)\cap(AI)$ ) sont :
0.25 pt
Acocycliques
Balignés
Cconfondus
Dun triangle équilatéral
9. Les droites $(IJ)$ et $(OA)$ sont :
0.25 pt
Aperpendiculaires
Bparallèles
Cconfondues
Dsécantes non perpendiculaires

Exercice 3

Exercice 3 — Arithmétique

$p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier premier avec $p$ .

1. Que peut-on dire de $a^{\frac{p-1}{2}}$ modulo $p$ ?
0.5 pt
A $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$ ou $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$
B $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 0\ [p]$
C $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv a\ [p]$
D $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv p\ [p]$
2. Soit $x_0$ une solution de $ax^{2}\equiv1\ [p]$ . Alors :
0.5 pt
A $x_0^{p-1}\equiv 1\ [p]$
B $x_0^{p-1}\equiv 0\ [p]$
C $x_0^{p}\equiv 1\ [p]$
D $x_0^{p-1}\equiv -1\ [p]$
3. On en déduit :
0.25 pt
A $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$
B $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$
C $a\equiv 1\ [p]$
D $a^{p-1}\equiv -1\ [p]$
4. Si $p$ divise $2^{2n+1}-1$ , alors :
0.5 pt
A $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$
B $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$
C $2^{2n+1}\equiv -1\ [p]$
D $p\mid 2$
5. L'équation $(E): 11x+(2^{2n+1}-1)y=1$ admet dans $\mathbb{Z}^{2}$ :
0.5 pt
Aau moins une solution (car $\gcd(11,\,2^{2n+1}-1)=1$ )
Baucune solution
Cune unique solution
Dune solution seulement si $n$ est pair
6. L'équation $(F): x^{2}+5x+2\equiv0\ [11]$ est équivalente à :
0.25 pt
A $2(2x+5)^{2}\equiv 1\ [11]$
B $(2x+5)^{2}\equiv 1\ [11]$
C $(x+5)^{2}\equiv 2\ [11]$
D $2(2x+5)^{2}\equiv 0\ [11]$
7. L'équation $(F)$ admet dans $\mathbb{Z}$ :
0.5 pt
Aaucune solution
Bune unique solution
Cdeux solutions
Donze solutions

Exercice 4

Exercice 4 — Structures algébriques

$A=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}$ et $E=\{M(x)=I+xA\mid x\in\mathbb{R}\}$ . On munit aussi $E$ de $T$ : $M(x)\,T\,M(y)=M(x+y-\tfrac12)$ , et $\varphi(x)=M\!\left(\tfrac{1-x}{2}\right)$ .

1. Que vaut $A^{2}$ ?
0.25 pt
A $-2A$
B $2A$
C $A$
D $O$
2. On en déduit, pour tous $x,y$ :
0.25 pt
A $M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)$
B $M(x)\times M(y)=M(x+y+2xy)$
C $M(x)\times M(y)=M(xy)$
D $M(x)\times M(y)=M(x+y)$
3. Le produit $M\!\left(\tfrac12\right)\times\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ vaut :
0.25 pt
Ala matrice nulle $O$
B $I$
C $M(\tfrac12)$
D $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
4. On en déduit que $M\!\left(\tfrac12\right)$ :
0.25 pt
An'est pas inversible (diviseur de zéro)
Best inversible
Cest l'unité $I$
Dest nilpotente
5. Pourquoi $E\setminus\{M(\tfrac12)\}$ est-il stable pour $\times$ ?
0.25 pt
Acar $(x-\tfrac12)(y-\tfrac12)=-\tfrac12\big(x+y-2xy-\tfrac12\big)$ (donc $\ne0$ )
Bcar $x+y-2xy=0$
Ccar $M(x)M(y)=I$
Dcar $E$ est fini
6. Que peut-on dire de $\big(E\setminus\{M(\tfrac12)\},\times\big)$ ?
1 pt
Ac'est un groupe commutatif, de neutre $M(0)=I$
Bc'est un groupe non commutatif
Cce n'est pas un groupe
Dc'est un corps
7. $\varphi(x)=M\!\left(\tfrac{1-x}{2}\right)$ vérifie :
0.5 pt
A $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$ et $\varphi(\mathbb{R})=E$
B $\varphi$ va de $(\mathbb{R},\times)$ vers $(E,T)$
C $\varphi$ n'est pas un homomorphisme
D $\varphi(\mathbb{R})=\{I\}$
8. On en déduit que $(E,T)$ est :
0.25 pt
Aun groupe commutatif
Bun groupe non commutatif
Cun anneau
Dnon associatif
9. Que peut-on conclure sur $(E,T,\times)$ ?
0.5 pt
Ac'est un corps commutatif
Bc'est seulement un anneau
Cc'est un espace vectoriel
Dce n'est pas un anneau

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