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Correction — Mathématiques 2025

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Aperçu du corrigé

f(1-x)=\frac{e^{1-x}}{e^{2-2x}+e}=\frac{e^{x-1}}{1+e^{2x-1}}=f(x) ; l'axe x=\tfrac12 est axe de symétrie.…

La suite, les réponses et les explications sont dans l'app.Continuer dans l'app

Exercice 1

Exercice 1 — Analyse

1. Montrer que pour tout

x

f(1-x)=f(x)

. Cette relation traduit :

A.que $(\Gamma)$ est symétrique par rapport à la droite $x=\tfrac12$
B.que $(\Gamma)$ a un centre de symétrie
C.que $f$ est impaire
D.que $f$ est périodique

Réponse et explication dans l'app

2. Que valent

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)

A. $0$ et $0$
B. $0$ et $+\infty$
C. $+\infty$ et $0$
D. $\tfrac12$ et $0$

Réponse et explication dans l'app

3. Graphiquement, ces limites signifient :

A.la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ et en $+\infty$
B. $y=1$ est asymptote en $+\infty$
C. $x=0$ est asymptote verticale
D.il n'y a pas d'asymptote

Réponse et explication dans l'app

4. Que vaut

f'(x)

A. $f(x)\cdot\dfrac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}$
B. $f(x)\cdot\dfrac{1+e^{2x-1}}{1-e^{2x-1}}$
C. $f(x)(1-f(x))$
D. $-f(x)\,e^{2x-1}$

Réponse et explication dans l'app

5. Les variations de

f

et son encadrement sont :

A. $f$ croît sur $]-\infty,\tfrac12]$ , décroît sur $[\tfrac12,+\infty[$ ; $0<f(x)<\tfrac12$
B. $f$ strictement croissante ; $0<f<1$
C. $f$ strictement décroissante ; $f>\tfrac12$
D. $f$ constante

Réponse et explication dans l'app

6. Le maximum de

f

est atteint en

x=\tfrac12

et vaut :

A. $\dfrac{1}{2\sqrt e}$
B. $\dfrac12$
C. $\dfrac1e$
D. $\sqrt e$

Réponse et explication dans l'app

7. Pour représenter

(\Gamma)

, quels éléments utilise-t-on ?

A.l'axe de symétrie $x=\tfrac12$ , l'asymptote $y=0$ et le maximum $\big(\tfrac12,\tfrac{1}{2\sqrt e}\big)$
B.un centre de symétrie et une asymptote verticale
C.deux asymptotes verticales
D.aucun élément particulier

Réponse et explication dans l'app

8. Que peut-on dire de

\displaystyle\int_0^{1/2} f

\displaystyle\int_{1/2}^{1} f

A.ils sont égaux
B.leur somme est nulle
C. $\int_0^{1/2}f=2\int_{1/2}^{1}f$
D.ils sont opposés

Réponse et explication dans l'app

9. On en déduit :

A. $\displaystyle\int_0^{1}f=2\int_0^{1/2}f$
B. $\displaystyle\int_0^{1}f=\int_0^{1/2}f$
C. $\displaystyle\int_0^{1}f=0$
D. $\displaystyle\int_0^{1}f=\tfrac12$

Réponse et explication dans l'app

10. Par le changement

t=e^{x}

\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,dx

devient :

A. $\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac{dt}{t^{2}+e}$
B. $\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac{dt}{t^{2}}$
C. $\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{t\,dt}{t^{2}+e}$
D. $\displaystyle\int_0^{\sqrt e}\dfrac{dt}{t+e}$

Réponse et explication dans l'app

11. On obtient

\displaystyle\int_0^{1/2}f(x)\,dx=

A. $\dfrac{1}{\sqrt e}\left(\arctan(\sqrt e)-\dfrac{\pi}{4}\right)$
B. $\dfrac{1}{\sqrt e}\arctan(\sqrt e)$
C. $\dfrac{1}{2}\ln(e^{2}+e)$
D. $\arctan(\sqrt e)-\dfrac{\pi}{4}$

Réponse et explication dans l'app

12. L'aire, en cm² (avec

\|\vec i\|=1

cm,

\|\vec j\|=2

cm), du domaine entre

(\Gamma)

x=0

x=1

y=0

est :

A. $\dfrac{4}{\sqrt e}\left(\arctan\sqrt e-\dfrac{\pi}{4}\right)$ cm²
B. $\dfrac{1}{\sqrt e}\left(\arctan\sqrt e-\dfrac{\pi}{4}\right)$ cm²
C. $\arctan\sqrt e$ cm²
D. $2$ cm²

Réponse et explication dans l'app

13. Pour la suite

u_{n+1}=f(u_n)

, montrer d'abord que sur

\mathbb{R}

A. $|f'(x)|\le f(x)$
B. $|f'(x)|\ge f(x)$
C. $f'(x)=f(x)$
D. $|f'(x)|\le\tfrac12 f(x)$

Réponse et explication dans l'app

14. Sur

[0,\tfrac12]

, on a :

A. $0\le f'(x)<\tfrac12$
B. $-\tfrac12<f'(x)\le0$
C. $f'(x)>\tfrac12$
D. $f'(x)=0$

Réponse et explication dans l'app

15. La fonction

g(x)=f(x)-x

est :

A.strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
B.strictement croissante
C.constante
D.non monotone

Réponse et explication dans l'app

16. L'équation

f(x)=x

admet dans

]0,\tfrac12[

A.un unique réel $\alpha$
B.aucune solution
C.deux solutions
D.une infinité

Réponse et explication dans l'app

17. Pour la suite

(u_n)

, on a :

A. $0<u_n<\tfrac12$ pour tout $n$
B. $u_n>\tfrac12$
C. $u_n<0$
D. $u_n=\alpha$ pour tout $n$

Réponse et explication dans l'app

18. Quelle inégalité relie

|u_{n+1}-\alpha|

|u_n-\alpha|

A. $|u_{n+1}-\alpha|\le\tfrac12|u_n-\alpha|$
B. $|u_{n+1}-\alpha|\le|u_n-\alpha|^{2}$
C. $|u_{n+1}-\alpha|\le2|u_n-\alpha|$
D. $|u_{n+1}-\alpha|\le\tfrac13|u_n-\alpha|$

Réponse et explication dans l'app

19. On en déduit, pour tout

n

A. $|u_n-\alpha|\le\left(\tfrac12\right)^{n+1}$
B. $|u_n-\alpha|\le\left(\tfrac12\right)^{n}$
C. $|u_n-\alpha|\le\tfrac1{2n}$
D. $|u_n-\alpha|\le\tfrac12$

Réponse et explication dans l'app

20. La suite

(u_n)

A.converge vers $\alpha$
B.diverge
C.converge vers $0$
D.converge vers $\tfrac12$

Réponse et explication dans l'app

21. On peut écrire

S_n=

A. $\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\,f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
B. $\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
C. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$
D. $\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$

Réponse et explication dans l'app

22. On a l'égalité :

A. $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=\int_0^{1/2} f(x)\,dx$
B. $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=\int_0^{1} f(x)\,dx$
C. $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=0$
D. $\displaystyle\int_0^{1} x f(x)\,dx=\tfrac12\int_0^1 f$

Réponse et explication dans l'app

23. La suite

(S_n)

converge vers :

A. $\dfrac{1}{\sqrt e}\left(\arctan\sqrt e-\dfrac{\pi}{4}\right)$
B. $0$
C. $\dfrac12$
D. $\dfrac{1}{\sqrt e}$

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Exercice 2

Exercice 2 — Nombres complexes

1. Le discriminant de

(E_\alpha)

est :

A. $\Delta_\alpha=\big(2^{\alpha}e^{i\alpha}(1-2i)\big)^{2}$
B. $\Delta_\alpha=\big(2^{\alpha}e^{i\alpha}(1+2i)\big)^{2}$
C. $\Delta_\alpha=-4$
D. $\Delta_\alpha=2^{2\alpha}e^{2i\alpha}$

Réponse et explication dans l'app

2. Les deux solutions (avec

|a|\le|b|

) sont :

A. $a=2^{\alpha}e^{i\alpha},\ b=2^{\alpha+1}i\,e^{i\alpha}$
B. $a=2^{\alpha+1}i e^{i\alpha},\ b=2^{\alpha}e^{i\alpha}$
C. $a=e^{i\alpha},\ b=2i e^{i\alpha}$
D. $a=2^{\alpha}e^{i\alpha},\ b=-2^{\alpha}e^{i\alpha}$

Réponse et explication dans l'app

3. Que vaut

\dfrac{b}{a}

A. $2i$ (imaginaire pur)
B. $2$
C. $i$
D. $-2i$

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4. Que vaut

\dfrac{h}{b-a}

(ce qui donne

(OH)\perp(AB)

) ?

A. $-\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}\,i$
B. $\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}$
C. $\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}$
D. $-\lambda i$

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5. Que vaut

\dfrac{h-a}{b-a}

(ce qui donne

H,A,B

alignés) ?

A. $\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}$
B. $\dfrac{\lambda}{\lambda^{2}+1}$
C. $-\dfrac{1}{\lambda^{2}+1}i$
D. $\lambda$

Réponse et explication dans l'app

6. Que vaut

\dfrac{n-m}{m-a}

(affixes de

J

I

m

pour

I

n

pour

J

) ?

A. $-\lambda i$
B. $\lambda i$
C. $\dfrac1\lambda i$
D. $-\dfrac1{\lambda}i$

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7. On en déduit :

A. $(OJ)\perp(AI)$ et $OJ=|\lambda|\,AI$
B. $(OJ)\parallel(AI)$
C. $OJ=AI$ seulement
D. $(OJ)\perp(OA)$

Réponse et explication dans l'app

8. Les points

K,I,H,J

(où

K=(OJ)\cap(AI)

) sont :

A.cocycliques
B.alignés
C.confondus
D.un triangle équilatéral

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9. Les droites

(IJ)

(OA)

sont :

A.perpendiculaires
B.parallèles
C.confondues
D.sécantes non perpendiculaires

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Exercice 3

Exercice 3 — Arithmétique

1. Que peut-on dire de

a^{\frac{p-1}{2}}

modulo

p

A. $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$ ou $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$
B. $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 0\ [p]$
C. $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv a\ [p]$
D. $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv p\ [p]$

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2. Soit

x_0

une solution de

ax^{2}\equiv1\ [p]

. Alors :

A. $x_0^{p-1}\equiv 1\ [p]$
B. $x_0^{p-1}\equiv 0\ [p]$
C. $x_0^{p}\equiv 1\ [p]$
D. $x_0^{p-1}\equiv -1\ [p]$

Réponse et explication dans l'app

3. On en déduit :

A. $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$
B. $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$
C. $a\equiv 1\ [p]$
D. $a^{p-1}\equiv -1\ [p]$

Réponse et explication dans l'app

4. Si

p

divise

2^{2n+1}-1

, alors :

A. $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p]$
B. $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p]$
C. $2^{2n+1}\equiv -1\ [p]$
D. $p\mid 2$

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5. L'équation

(E): 11x+(2^{2n+1}-1)y=1

admet dans

\mathbb{Z}^{2}

A.au moins une solution (car $\gcd(11,\,2^{2n+1}-1)=1$ )
B.aucune solution
C.une unique solution
D.une solution seulement si $n$ est pair

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6. L'équation

(F): x^{2}+5x+2\equiv0\ [11]

est équivalente à :

A. $2(2x+5)^{2}\equiv 1\ [11]$
B. $(2x+5)^{2}\equiv 1\ [11]$
C. $(x+5)^{2}\equiv 2\ [11]$
D. $2(2x+5)^{2}\equiv 0\ [11]$

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7. L'équation

(F)

admet dans

\mathbb{Z}

A.aucune solution
B.une unique solution
C.deux solutions
D.onze solutions

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Exercice 4

Exercice 4 — Structures algébriques

1. Que vaut

A^{2}

A. $-2A$
B. $2A$
C. $A$
D. $O$

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2. On en déduit, pour tous

x,y

A. $M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy)$
B. $M(x)\times M(y)=M(x+y+2xy)$
C. $M(x)\times M(y)=M(xy)$
D. $M(x)\times M(y)=M(x+y)$

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3. Le produit

M\!\left(\tfrac12\right)\times\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

vaut :

A.la matrice nulle $O$
B. $I$
C. $M(\tfrac12)$
D. $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

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4. On en déduit que

M\!\left(\tfrac12\right)

A.n'est pas inversible (diviseur de zéro)
B.est inversible
C.est l'unité $I$
D.est nilpotente

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5. Pourquoi

E\setminus\{M(\tfrac12)\}

est-il stable pour

\times

A.car $(x-\tfrac12)(y-\tfrac12)=-\tfrac12\big(x+y-2xy-\tfrac12\big)$ (donc $\ne0$ )
B.car $x+y-2xy=0$
C.car $M(x)M(y)=I$
D.car $E$ est fini

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6. Que peut-on dire de

\big(E\setminus\{M(\tfrac12)\},\times\big)

A.c'est un groupe commutatif, de neutre $M(0)=I$
B.c'est un groupe non commutatif
C.ce n'est pas un groupe
D.c'est un corps

Réponse et explication dans l'app

\varphi(x)=M\!\left(\tfrac{1-x}{2}\right)

vérifie :

A. $\varphi$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ vers $(E,T)$ et $\varphi(\mathbb{R})=E$
B. $\varphi$ va de $(\mathbb{R},\times)$ vers $(E,T)$
C. $\varphi$ n'est pas un homomorphisme
D. $\varphi(\mathbb{R})=\{I\}$

Réponse et explication dans l'app

8. On en déduit que

(E,T)

est :

A.un groupe commutatif
B.un groupe non commutatif
C.un anneau
D.non associatif

Réponse et explication dans l'app

9. Que peut-on conclure sur

(E,T,\times)

A.c'est un corps commutatif
B.c'est seulement un anneau
C.c'est un espace vectoriel
D.ce n'est pas un anneau

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