Examen National · Session de rattrapage

Mathématiques — Examen National 2025

2ème année Bac 4hBarème 20 ptsÉnoncé officiel
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Exercice 1

Exercice 1 — Analyse (Partie I)

On considère la fonction ff définie sur I=[0,+∞[I=[0,+\infty[ par f(0)=0f(0)=0 et f(x)=x2ln⁡xx2+1f(x)=\dfrac{x^{2}\ln x}{x^{2}+1} pour x∈]0,+∞[x\in]0,+\infty[. Soit (C)(C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}).

  1. 1. Étudier la continuité de ff à droite en 00.
    0.25 pt
    Aff est continue à droite en 00
    Bff n'est pas continue en 00
    Cff est seulement continue à gauche en 00
    Dff admet une limite infinie en 00
  2. 2. Étudier la dérivabilité de ff à droite en 00, puis interpréter graphiquement le résultat.
    0.5 pt
    Aff n'est pas dérivable en 00 (demi-tangente verticale)
    Bff est dérivable à droite en 00, fd′(0)=0f'_d(0)=0 : demi-tangente horizontale
    Cff est dérivable à droite en 00 avec fd′(0)=1f'_d(0)=1
    Dfd′(0)=+∞f'_d(0)=+\infty
  3. 3. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)x\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}, puis interpréter graphiquement le résultat.
    0.75 pt
    Alim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty}f=+\infty et lim⁡+∞f(x)x=0\lim_{+\infty}\frac{f(x)}{x}=0 : branche parabolique de direction (Ox)(Ox)
    Blim⁡+∞f=0\lim_{+\infty}f=0 : asymptote horizontale y=0y=0
    Clim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty}f=+\infty : asymptote oblique y=xy=x
    Dlim⁡+∞f(x)x=1\lim_{+\infty}\frac{f(x)}{x}=1 : direction asymptotique
  4. 4. Soit φ\varphi la fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par φ(x)=x2+1+2ln⁡x\varphi(x)=x^{2}+1+2\ln x. Dresser le tableau de variations de φ\varphi.
    0.5 pt
    Aφ\varphi est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
    Bφ\varphi décroît puis croît
    Cφ\varphi est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[ (de −∞-\infty à +∞+\infty)
    Dφ\varphi croît puis décroît
  5. 5. Montrer que l'équation φ(x)=0\varphi(x)=0 admet une unique solution β∈]12,13[\beta\in\left]\tfrac12,\tfrac{1}{\sqrt3}\right[.
    0.5 pt
    Aφ(x)=0\varphi(x)=0 admet une unique solution β∈]12,13[\beta\in\left]\frac12,\frac{1}{\sqrt3}\right[
    Bφ(x)=0\varphi(x)=0 admet deux solutions
    Cφ(x)=0\varphi(x)=0 n'admet aucune solution
    Dβ∈]1,2[\beta\in\left]1,2\right[
  6. 6. Montrer que f(β)=−β22f(\beta)=-\dfrac{\beta^{2}}{2}.
    0.25 pt
    Af(β)=β22f(\beta)=\frac{\beta^{2}}{2}
    Bf(β)=−β22f(\beta)=-\frac{\beta^{2}}{2}
    Cf(β)=−β2f(\beta)=-\beta^{2}
    Df(β)=0f(\beta)=0
  7. 7. Montrer que ff est dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et que ∀x∈]0,+∞[, f′(x)=x φ(x)(x2+1)2\forall x\in]0,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{x\,\varphi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
    0.5 pt
    Af′(x)=x φ(x)(x2+1)2f'(x)=\frac{x\,\varphi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}
    Bf′(x)=φ(x)(x2+1)2f'(x)=\frac{\varphi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}
    Cf′(x)=x φ(x)x2+1f'(x)=\frac{x\,\varphi(x)}{x^{2}+1}
    Df′(x)=2xln⁡x(x2+1)2f'(x)=\frac{2x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}
  8. 8. Donner le tableau de variations de ff.
    0.5 pt
    Aff est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
    Bff décroît sur ]0,β[]0,\beta[ puis croît sur ]β,+∞[]\beta,+\infty[ ; minimum −β22-\frac{\beta^{2}}{2}
    Cff croît puis décroît
    Dff est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
  9. 9. Montrer que 1β\dfrac{1}{\beta} est l'unique solution de l'équation f(x)=12f(x)=\dfrac12 sur ]β,+∞[]\beta,+\infty[.
    0.25 pt
    Aβ\beta est l'unique solution de f(x)=12f(x)=\frac12
    Bil n'existe aucune solution
    C1β\frac{1}{\beta} est l'unique solution de f(x)=12f(x)=\frac12 sur ]β,+∞[]\beta,+\infty[
    Dil existe deux solutions
  10. 10. Montrer que la droite d'équation y=βx−12y=\beta x-\dfrac12 est la tangente à (C)(C) au point d'abscisse 1β\dfrac{1}{\beta}.
    0.5 pt
    Ay=βx+12y=\beta x+\frac12
    By=βx−12y=\beta x-\frac12
    Cy=−βx−12y=-\beta x-\frac12
    Dy=1βx−12y=\frac{1}{\beta}x-\frac12
  11. 11. Représenter graphiquement la courbe (C)(C) (on admet qu'elle possède deux points d'inflexion).
    0.5 pt
    A(C)(C) admet une asymptote horizontale y=0y=0
    B(C)(C) passe par OO (demi-tangente horizontale), minimum en β\beta, branche parabolique (Ox)(Ox), deux points d'inflexion
    C(C)(C) est croissante sur tout ]0,+∞[]0,+\infty[
    D(C)(C) admet une asymptote oblique
Exercice 2

Exercice 1 — Analyse (Partie II)

On pose J=]3,2[J=\left]\sqrt3,2\right[ et α=1β\alpha=\dfrac1\beta. Soit gg la fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par g(x)=e 1+1x2g(x)=\sqrt{e^{\,1+\frac{1}{x^{2}}}}, et (xn)(x_n) la suite définie par x0=74x_0=\dfrac74 et xn+1=g(xn)x_{n+1}=g(x_n).

  1. 1. Étudier les variations de gg sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
    0.25 pt
    Agg est strictement décroissante car g′(x)=−g(x)x3<0g'(x)=-\frac{g(x)}{x^{3}}<0
    Bgg est strictement croissante
    Cgg décroît puis croît
    Dgg est constante
  2. 2. Montrer que ∀x∈J, 3<g(x)<2\forall x\in J,\ \sqrt3<g(x)<2.
    0.25 pt
    Agg décroissante sur JJ : g(2)≤g(x)≤g(3)g(2)\le g(x)\le g(\sqrt3), or g(2)≈1,87>3g(2)\approx1{,}87>\sqrt3 et g(3)≈1,95<2g(\sqrt3)\approx1{,}95<2
    Bgg est croissante donc encadrée
    CFaux : g(x)>2g(x)>2
    DFaux : g(x)<3g(x)<\sqrt3
  3. 3. En utilisant I.3-c), montrer que g(α)=αg(\alpha)=\alpha.
    0.25 pt
    Ag(α)=αg(\alpha)=\alpha : α\alpha est un point fixe de gg
    Bg(α)=0g(\alpha)=0
    Cg(α)=2g(\alpha)=2
    Dg(α)=3g(\alpha)=\sqrt3
  4. 4. Montrer que ∀x∈J, ∣g′(x)∣≤233\forall x\in J,\ |g'(x)|\le \dfrac{2}{3\sqrt3}.
    0.5 pt
    A∣g′(x)∣=g(x)x3<233|g'(x)|=\frac{g(x)}{x^{3}}<\frac{2}{3\sqrt3} car g<2g<2 et x3>33x^{3}>3\sqrt3 sur JJ
    B∣g′(x)∣≤1|g'(x)|\le 1 seulement
    C∣g′(x)∣≥233|g'(x)|\ge \frac{2}{3\sqrt3}
    Dg′(x)=0g'(x)=0 sur JJ
  5. 5. En déduire que ∀x∈J, ∣g(x)−α∣≤233 ∣x−α∣\forall x\in J,\ |g(x)-\alpha|\le \dfrac{2}{3\sqrt3}\,|x-\alpha|.
    0.5 pt
    AInégalité des accroissements finis (∣g′∣≤233|g'|\le\frac{2}{3\sqrt3}) avec g(α)=αg(\alpha)=\alpha
    BPar récurrence sur xx
    CCar gg est affine
    DFaux : le facteur est 11
  6. 6. Montrer que ∀n∈N, xn∈J\forall n\in\mathbb{N},\ x_n\in J.
    0.25 pt
    ARécurrence : x0=74∈Jx_0=\frac74\in J et g(J)⊂Jg(J)\subset J
    BCar xnx_n est constante
    CCar xn→+∞x_n\to+\infty
    DFaux : xnx_n sort de JJ
  7. 7. Montrer par récurrence que ∀n, ∣xn−α∣≤(233)n∣x0−α∣\forall n,\ |x_n-\alpha|\le \left(\dfrac{2}{3\sqrt3}\right)^{n}|x_0-\alpha|.
    0.5 pt
    ARécurrence via ∣xn+1−α∣≤233∣xn−α∣|x_{n+1}-\alpha|\le\frac{2}{3\sqrt3}|x_n-\alpha|
    B∣xn−α∣≤233|x_n-\alpha|\le\frac{2}{3\sqrt3} (constant)
    C∣xn−α∣≥(233)n|x_n-\alpha|\ge\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^{n}
    DL'inégalité est fausse
  8. 8. En déduire que (xn)(x_n) converge vers α\alpha.
    0.25 pt
    A(233)n→0\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^{n}\to0 (car 233<1\frac{2}{3\sqrt3}<1), donc xn→αx_n\to\alpha
    Bxn→3x_n\to\sqrt3
    Cxn→2x_n\to2
    D(xn)(x_n) diverge
Exercice 3

Exercice 2 — Suites et intégrale

On considère la suite (un)n≥2(u_n)_{n\ge 2} définie par un=1n∑k=1n−1ln⁡knu_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\ln\dfrac{k}{n}.

  1. 1. Montrer que pour tout k∈{1,…,n−1}k\in\{1,\dots,n-1\} et tout x∈[kn,k+1n]x\in\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right] : ln⁡kn≤ln⁡x≤ln⁡k+1n\ln\frac{k}{n}\le \ln x\le \ln\frac{k+1}{n}.
    0.25 pt
    AVrai : ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
    BFaux : ln⁡\ln est décroissante
    CVrai, mais parce que ln⁡\ln est concave
    DFaux : l'encadrement est inversé
  2. 2. En déduire que 1nln⁡kn≤∫k/n(k+1)/nln⁡x dx≤1nln⁡k+1n\frac{1}{n}\ln\frac{k}{n}\le \int_{k/n}^{(k+1)/n}\ln x\,dx\le \frac{1}{n}\ln\frac{k+1}{n}.
    0.25 pt
    AOn intègre l'encadrement sur [kn,k+1n]\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right] (longueur 1n\frac1n)
    BOn dérive l'encadrement
    CPar le théorème des accroissements finis
    DL'intégrale vaut exactement 1nln⁡kn\frac1n\ln\frac{k}{n}
  3. 3. Montrer que 1n∑k=1n−1ln⁡kn≤∫1/n1ln⁡x dx≤1n∑k=2nln⁡kn\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\ln\frac{k}{n}\le \int_{1/n}^{1}\ln x\,dx\le \frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\ln\frac{k}{n}.
    0.5 pt
    AEn sommant l'encadrement pour k=1k=1 à n−1n-1 (relation de Chasles)
    BPar récurrence sur nn
    CEn dérivant terme à terme
    DC'est faux : les bornes sont 00 et 11
  4. 4. En déduire que un≤∫1/n1ln⁡x dx≤un−1nln⁡1nu_n\le \int_{1/n}^{1}\ln x\,dx\le u_n-\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}.
    0.5 pt
    A1n∑k=1n−1ln⁡kn=un\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\frac{k}{n}=u_n et 1n∑k=2nln⁡kn=un−1nln⁡1n\frac1n\sum_{k=2}^{n}\ln\frac{k}{n}=u_n-\frac1n\ln\frac1n
    BCar un=∫1/n1ln⁡x dxu_n=\int_{1/n}^{1}\ln x\,dx
    CPar une intégration par parties
    DCar un=1nln⁡nu_n=\frac1n\ln n
  5. 5. Montrer que −1+1n≤un≤−1+1n−1nln⁡1n-1+\frac{1}{n}\le u_n\le -1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}.
    0.5 pt
    ACar ∫1/n1ln⁡x dx=−1+1n−1nln⁡1n\int_{1/n}^{1}\ln x\,dx=-1+\frac1n-\frac1n\ln\frac1n (primitive xln⁡x−xx\ln x-x)
    BCar ∫1/n1ln⁡x dx=ln⁡n\int_{1/n}^{1}\ln x\,dx=\ln n
    CCar l'intégrale vaut −1-1
    DCar l'intégrale vaut 1−1n1-\frac1n
  6. 6. Déterminer lim⁡n→+∞un\lim_{n\to+\infty}u_n.
    0.25 pt
    A−1-1
    B00
    C+∞+\infty
    D−∞-\infty
Exercice 4

Exercice 3 — Nombres complexes

Soit θ∈[0,π[\theta \in [0,\pi[. On considère l'équation (Eθ):z2+(1−i)eiθz−ie2iθ=0(E_\theta): z^2+(1-i)e^{i\theta}z-ie^{2i\theta}=0. On note z1,z2z_1,z_2 ses solutions avec Im(z1)≤0\mathrm{Im}(z_1)\le 0. Dans le plan complexe muni de (O,u⃗,v⃗)(O,\vec u,\vec v), on pose a=eiθa=e^{i\theta}, b=(1+i)eiθb=(1+i)e^{i\theta}, c=b−ac=b-a, q=meiθq=me^{i\theta} avec m∈ ]0,1[m\in\,]0,1[, RR la rotation de centre OO et d'angle π2\tfrac{\pi}{2}, P=R(Q)P=R(Q) et HH d'affixe h=mm−ieiθh=\tfrac{m}{m-i}e^{i\theta}.

  1. 1. (Eθ)(E_\theta) est équivalente à (2z+(1−i)eiθ)2=A\big(2z+(1-i)e^{i\theta}\big)^2 = A. Que vaut AA ?
    0.25 pt
    A((1+i)eiθ)2\big((1+i)e^{i\theta}\big)^2
    B((1−i)eiθ)2\big((1-i)e^{i\theta}\big)^2
    C((1+i)e2iθ)2\big((1+i)e^{2i\theta}\big)^2
    D4ie2iθ4ie^{2i\theta}
  2. 2. Que vaut (1−i)2(1-i)^2 ?
    0.25 pt
    A−2i-2i
    B2i2i
    C−2-2
    D22
  3. 3. Sachant que Im(z1)≤0\mathrm{Im}(z_1)\le 0 sur [0,π[[0,\pi[, quelle est l'affixe z1z_1 ?
    0.5 pt
    Az1=−eiθz_1=-e^{i\theta}
    Bz1=ieiθz_1=ie^{i\theta}
    Cz1=eiθz_1=e^{i\theta}
    Dz1=−ieiθz_1=-ie^{i\theta}
  4. 4. Que vaut z1+1z2+i\dfrac{z_1+1}{z_2+i} ?
    0.5 pt
    A−tan⁡ ⁣(θ2)-\tan\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
    Btan⁡ ⁣(θ2)\tan\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
    C−cot⁡ ⁣(θ2)-\cot\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
    D−itan⁡ ⁣(θ2)-i\tan\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
  5. 5. Quelle est la forme exponentielle de z1+iz2z2+i\dfrac{z_1+iz_2}{z_2+i} ?
    0.5 pt
    A1cos⁡(θ/2) ei(θ/2+π/2)\dfrac{1}{\cos(\theta/2)}\,e^{i(\theta/2+\pi/2)}
    B1cos⁡(θ/2) ei(θ/2−π/2)\dfrac{1}{\cos(\theta/2)}\,e^{i(\theta/2-\pi/2)}
    Ccos⁡(θ/2) eiθ/2\cos(\theta/2)\,e^{i\theta/2}
    D1sin⁡(θ/2) eiθ/2\dfrac{1}{\sin(\theta/2)}\,e^{i\theta/2}
  6. 6. Quelle est l'affixe pp de P=R(Q)P=R(Q) ?
    0.25 pt
    Ap=imeiθp=ime^{i\theta}
    Bp=meiθp=me^{i\theta}
    Cp=−imeiθp=-ime^{i\theta}
    Dp=mei(θ+π)p=me^{i(\theta+\pi)}
  7. 7. À quel point est égal R(A)R(A) ?
    0.25 pt
    ACC
    BBB
    CQQ
    DOO
  8. 8. Que vaut p−ah\dfrac{p-a}{h} ?
    0.5 pt
    Am2+1m i\dfrac{m^2+1}{m}\,i
    Bm2−1m i\dfrac{m^2-1}{m}\,i
    Cm2+1m\dfrac{m^2+1}{m}
    Dmm2+1 i\dfrac{m}{m^2+1}\,i
  9. 9. Que vaut h−ap−a\dfrac{h-a}{p-a} ? (ce qui prouve l'alignement de A,H,PA,H,P)
    0.25 pt
    A1m2+1\dfrac{1}{m^2+1}
    B1m2−1\dfrac{1}{m^2-1}
    Cmm2+1\dfrac{m}{m^2+1}
    Dim2+1\dfrac{i}{m^2+1}
  10. 10. Que vaut b−hq−h\dfrac{b-h}{q-h} ? (ce qui prouve (QH)⊥(HB)(QH)\perp(HB))
    0.25 pt
    Aim\dfrac{i}{m}
    B1m\dfrac{1}{m}
    Cim2\dfrac{i}{m^2}
    D−im-\dfrac{i}{m}
Exercice 5

Exercice 4 — Arithmétique

a,b,c,da,b,c,d sont des entiers naturels non nuls avec a∧b=c∧d=1a\wedge b=c\wedge d=1. On étudie dans Z×Z\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} l'équation (E):y=abx−cd(E): y=\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{d}.

  1. 1. Si (x0,y0)∈Z2(x_0,y_0)\in\mathbb{Z}^2 est solution de (E)(E), en multipliant par bdbd on obtient adx0−bdy0=bcadx_0-bdy_0=bc. Que peut-on en déduire ?
    0.25 pt
    Ad∣bcd\mid bc
    Bd∣acd\mid ac
    Cb∣cdb\mid cd
    Dd∣abd\mid ab
  2. 2. Sachant que d∣bcd\mid bc et c∧d=1c\wedge d=1, que donne le lemme de Gauss ?
    0.25 pt
    Ad∣bd\mid b
    Bd∣cd\mid c
    Cb∣db\mid d
    Dc∣bc\mid b
  3. 3. On pose b=ndb=nd. Puisque a∧b=1a\wedge b=1, quel couple le théorème de Bézout garantit-il ?
    0.5 pt
    A(u,v)(u,v) avec dnu−av=1dnu-av=1
    B(u,v)(u,v) avec du−av=1du-av=1
    C(u,v)(u,v) avec dnu−av=ndnu-av=n
    D(u,v)(u,v) avec anu−dv=1anu-dv=1
  4. 4. Les solutions de l'équation homogène ndy−ax=0ndy-ax=0 (avec a∧nd=1a\wedge nd=1) sont :
    0.25 pt
    Ax=ndk, y=ak, k∈Zx=ndk,\ y=ak,\ k\in\mathbb{Z}
    Bx=ak, y=ndkx=ak,\ y=ndk
    Cx=nk, y=dkx=nk,\ y=dk
    Dx=dk, y=nkx=dk,\ y=nk
  5. 5. Pour (F):y=32975x−2119(F): y=\dfrac{3}{2975}x-\dfrac{2}{119}, on identifie a=3,b=2975,c=2,d=119a=3,b=2975,c=2,d=119. Que vaut n=bdn=\dfrac{b}{d} ?
    0.25 pt
    An=25n=25
    Bn=17n=17
    Cn=7n=7
    Dn=119n=119
  6. 6. Quel couple (u,v)∈N2(u,v)\in\mathbb{N}^2 vérifie 2975u−3v=12975u-3v=1 ?
    0.5 pt
    A(2, 1983)(2,\,1983)
    B(1, 991)(1,\,991)
    C(2, 1487)(2,\,1487)
    D(1, 1983)(1,\,1983)
  7. 7. En multipliant (F)(F) par 29752975, à quelle équation diophantienne aboutit-on ?
    0.5 pt
    A3x−2975y=503x-2975y=50
    B3x−2975y=23x-2975y=2
    C2975y−3x=22975y-3x=2
    D3x−2975y=13x-2975y=1
  8. 8. Quel est l'ensemble SS des solutions de (F)(F) ?
    0.5 pt
    AS={(2000+2975k ; 2+3k)∣k∈Z}S=\{(2000+2975k\,;\,2+3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    BS={(−3966+2975k ; −4+3k)∣k∈Z}S=\{(-3966+2975k\,;\,-4+3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    CS={(2000+3k ; 2+2975k)∣k∈Z}S=\{(2000+3k\,;\,2+2975k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    DS={(2000+119k ; 2+3k)∣k∈Z}S=\{(2000+119k\,;\,2+3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
Exercice 6

Exercice 5 — Structures algébriques

On munit E={x+yi∣x∈Z, y∈Z}E=\{x+yi\mid x\in\mathbb{Z},\,y\in\mathbb{Z}\} de la loi ∗* définie par (x+yi)∗(x′+y′i)=(x+(−1)yx′)+(y+y′)i(x+yi)*(x'+y'i)=\big(x+(-1)^{y}x'\big)+(y+y')i. On pose F={x+2yi∣x,y∈Z}F=\{x+2yi\mid x,y\in\mathbb{Z}\}, G={M(x,y)}G=\{M(x,y)\} les matrices (1xy010001)\begin{pmatrix}1&x&y\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, et φ:F→M3(R)\varphi:F\to M_3(\mathbb{R}), φ(x+2yi)=M(x,y)\varphi(x+2yi)=M(x,y).

  1. 1. Que vaut (1−i)∗(3+2i)(1-i)*(3+2i) ?
    0.25 pt
    A−2+i-2+i
    B4+i4+i
    C−2−i-2-i
    D2+i2+i
  2. 2. Que vaut (3+2i)∗(1−i)(3+2i)*(1-i) ? (ce qui montre que ∗* n'est pas commutative)
    0.25 pt
    A4+i4+i
    B−2+i-2+i
    C4−i4-i
    D2+i2+i
  3. 3. Quel est l'élément neutre de (E,∗)(E,*) ?
    0.25 pt
    A0=0+0i0=0+0i
    B1+0i1+0i
    C1+i1+i
    D0+i0+i
  4. 4. Quel est le symétrique de x+yix+yi pour ∗* ?
    0.5 pt
    A(−1)y+1x−yi(-1)^{y+1}x-yi
    B−x−yi-x-yi
    C(−1)yx−yi(-1)^{y}x-yi
    D−x+yi-x+yi
  5. 5. L'identité qui assure l'associativité de ∗* est :
    0.25 pt
    A(−1)y(−1)y′=(−1)y+y′(-1)^{y}(-1)^{y'}=(-1)^{y+y'}
    B(−1)y+(−1)y′=(−1)y+y′(-1)^{y}+(-1)^{y'}=(-1)^{y+y'}
    C(−1)yy′=(−1)y+y′(-1)^{yy'}=(-1)^{y+y'}
    D(−1)y(−1)y′=(−1)yy′(-1)^{y}(-1)^{y'}=(-1)^{yy'}
  6. 6. Que peut-on conclure sur (E,∗)(E,*) ?
    0.5 pt
    AC'est un groupe non commutatif
    BC'est un groupe commutatif
    CC'est un anneau
    DCe n'est pas un groupe
  7. 7. Pourquoi ∗* est-elle commutative dans F={x+2yi}F=\{x+2yi\} ?
    0.5 pt
    Acar (−1)2y=1(-1)^{2y}=1
    Bcar y=0y=0
    Ccar FF est fini
    Dcar x=x′x=x'
  8. 8. Que vaut φ(a∗b)\varphi(a*b) pour a,b∈Fa,b\in F ?
    0.5 pt
    Aφ(a)×φ(b)\varphi(a)\times\varphi(b)
    Bφ(a)+φ(b)\varphi(a)+\varphi(b)
    Cφ(a)\varphi(a)
    Dφ(a)×φ(b)+I3\varphi(a)\times\varphi(b)+I_3
  9. 9. Que vaut φ(F)\varphi(F) ?
    0.25 pt
    AGG
    BM3(R)M_3(\mathbb{R})
    CFF
    D{I3}\{I_3\}
  10. 10. φ\varphi étant un isomorphisme de (F,∗)(F,*) sur (G,×)(G,\times) et (F,∗)(F,*) commutatif, (G,×)(G,\times) est :
    0.25 pt
    Aun groupe commutatif
    Bun groupe non commutatif
    Cun anneau
    Dun corps

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