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Correction — Mathématiques 2025

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\lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{x^{2}\ln x}{x^{2}+1}=0=f(0) car x^{2}\ln x\to 0. Donc f est continue à droite en 0.…

La suite, les réponses et les explications sont dans l'app.Continuer dans l'app
Exercice 1

Exercice 1 — Analyse (Partie I)

1. Étudier la continuité de ff à droite en 00.
  • A.ff est continue à droite en 00
  • B.ff n'est pas continue en 00
  • C.ff est seulement continue à gauche en 00
  • D.ff admet une limite infinie en 00
Réponse et explication dans l'app
2. Étudier la dérivabilité de ff à droite en 00, puis interpréter graphiquement le résultat.
  • A.ff n'est pas dérivable en 00 (demi-tangente verticale)
  • B.ff est dérivable à droite en 00, fd′(0)=0f'_d(0)=0 : demi-tangente horizontale
  • C.ff est dérivable à droite en 00 avec fd′(0)=1f'_d(0)=1
  • D.fd′(0)=+∞f'_d(0)=+\infty
Réponse et explication dans l'app
3. Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)x\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}, puis interpréter graphiquement le résultat.
  • A.lim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty}f=+\infty et lim⁡+∞f(x)x=0\lim_{+\infty}\frac{f(x)}{x}=0 : branche parabolique de direction (Ox)(Ox)
  • B.lim⁡+∞f=0\lim_{+\infty}f=0 : asymptote horizontale y=0y=0
  • C.lim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty}f=+\infty : asymptote oblique y=xy=x
  • D.lim⁡+∞f(x)x=1\lim_{+\infty}\frac{f(x)}{x}=1 : direction asymptotique
Réponse et explication dans l'app
4. Soit φ\varphi la fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par φ(x)=x2+1+2ln⁡x\varphi(x)=x^{2}+1+2\ln x. Dresser le tableau de variations de φ\varphi.
  • A.φ\varphi est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
  • B.φ\varphi décroît puis croît
  • C.φ\varphi est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[ (de −∞-\infty à +∞+\infty)
  • D.φ\varphi croît puis décroît
Réponse et explication dans l'app
5. Montrer que l'équation φ(x)=0\varphi(x)=0 admet une unique solution β∈]12,13[\beta\in\left]\tfrac12,\tfrac{1}{\sqrt3}\right[.
  • A.φ(x)=0\varphi(x)=0 admet une unique solution β∈]12,13[\beta\in\left]\frac12,\frac{1}{\sqrt3}\right[
  • B.φ(x)=0\varphi(x)=0 admet deux solutions
  • C.φ(x)=0\varphi(x)=0 n'admet aucune solution
  • D.β∈]1,2[\beta\in\left]1,2\right[
Réponse et explication dans l'app
6. Montrer que f(β)=−β22f(\beta)=-\dfrac{\beta^{2}}{2}.
  • A.f(β)=β22f(\beta)=\frac{\beta^{2}}{2}
  • B.f(β)=−β22f(\beta)=-\frac{\beta^{2}}{2}
  • C.f(β)=−β2f(\beta)=-\beta^{2}
  • D.f(β)=0f(\beta)=0
Réponse et explication dans l'app
7. Montrer que ff est dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et que ∀x∈]0,+∞[, f′(x)=x φ(x)(x2+1)2\forall x\in]0,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{x\,\varphi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • A.f′(x)=x φ(x)(x2+1)2f'(x)=\frac{x\,\varphi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}
  • B.f′(x)=φ(x)(x2+1)2f'(x)=\frac{\varphi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}
  • C.f′(x)=x φ(x)x2+1f'(x)=\frac{x\,\varphi(x)}{x^{2}+1}
  • D.f′(x)=2xln⁡x(x2+1)2f'(x)=\frac{2x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}
Réponse et explication dans l'app
8. Donner le tableau de variations de ff.
  • A.ff est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
  • B.ff décroît sur ]0,β[]0,\beta[ puis croît sur ]β,+∞[]\beta,+\infty[ ; minimum −β22-\frac{\beta^{2}}{2}
  • C.ff croît puis décroît
  • D.ff est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
Réponse et explication dans l'app
9. Montrer que 1β\dfrac{1}{\beta} est l'unique solution de l'équation f(x)=12f(x)=\dfrac12 sur ]β,+∞[]\beta,+\infty[.
  • A.β\beta est l'unique solution de f(x)=12f(x)=\frac12
  • B.il n'existe aucune solution
  • C.1β\frac{1}{\beta} est l'unique solution de f(x)=12f(x)=\frac12 sur ]β,+∞[]\beta,+\infty[
  • D.il existe deux solutions
Réponse et explication dans l'app
10. Montrer que la droite d'équation y=βx−12y=\beta x-\dfrac12 est la tangente à (C)(C) au point d'abscisse 1β\dfrac{1}{\beta}.
  • A.y=βx+12y=\beta x+\frac12
  • B.y=βx−12y=\beta x-\frac12
  • C.y=−βx−12y=-\beta x-\frac12
  • D.y=1βx−12y=\frac{1}{\beta}x-\frac12
Réponse et explication dans l'app
11. Représenter graphiquement la courbe (C)(C) (on admet qu'elle possède deux points d'inflexion).
  • A.(C)(C) admet une asymptote horizontale y=0y=0
  • B.(C)(C) passe par OO (demi-tangente horizontale), minimum en β\beta, branche parabolique (Ox)(Ox), deux points d'inflexion
  • C.(C)(C) est croissante sur tout ]0,+∞[]0,+\infty[
  • D.(C)(C) admet une asymptote oblique
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Exercice 2

Exercice 1 — Analyse (Partie II)

1. Étudier les variations de gg sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
  • A.gg est strictement décroissante car g′(x)=−g(x)x3<0g'(x)=-\frac{g(x)}{x^{3}}<0
  • B.gg est strictement croissante
  • C.gg décroît puis croît
  • D.gg est constante
Réponse et explication dans l'app
2. Montrer que ∀x∈J, 3<g(x)<2\forall x\in J,\ \sqrt3<g(x)<2.
  • A.gg décroissante sur JJ : g(2)≤g(x)≤g(3)g(2)\le g(x)\le g(\sqrt3), or g(2)≈1,87>3g(2)\approx1{,}87>\sqrt3 et g(3)≈1,95<2g(\sqrt3)\approx1{,}95<2
  • B.gg est croissante donc encadrée
  • C.Faux : g(x)>2g(x)>2
  • D.Faux : g(x)<3g(x)<\sqrt3
Réponse et explication dans l'app
3. En utilisant I.3-c), montrer que g(α)=αg(\alpha)=\alpha.
  • A.g(α)=αg(\alpha)=\alpha : α\alpha est un point fixe de gg
  • B.g(α)=0g(\alpha)=0
  • C.g(α)=2g(\alpha)=2
  • D.g(α)=3g(\alpha)=\sqrt3
Réponse et explication dans l'app
4. Montrer que ∀x∈J, ∣g′(x)∣≤233\forall x\in J,\ |g'(x)|\le \dfrac{2}{3\sqrt3}.
  • A.∣g′(x)∣=g(x)x3<233|g'(x)|=\frac{g(x)}{x^{3}}<\frac{2}{3\sqrt3} car g<2g<2 et x3>33x^{3}>3\sqrt3 sur JJ
  • B.∣g′(x)∣≤1|g'(x)|\le 1 seulement
  • C.∣g′(x)∣≥233|g'(x)|\ge \frac{2}{3\sqrt3}
  • D.g′(x)=0g'(x)=0 sur JJ
Réponse et explication dans l'app
5. En déduire que ∀x∈J, ∣g(x)−α∣≤233 ∣x−α∣\forall x\in J,\ |g(x)-\alpha|\le \dfrac{2}{3\sqrt3}\,|x-\alpha|.
  • A.Inégalité des accroissements finis (∣g′∣≤233|g'|\le\frac{2}{3\sqrt3}) avec g(α)=αg(\alpha)=\alpha
  • B.Par récurrence sur xx
  • C.Car gg est affine
  • D.Faux : le facteur est 11
Réponse et explication dans l'app
6. Montrer que ∀n∈N, xn∈J\forall n\in\mathbb{N},\ x_n\in J.
  • A.Récurrence : x0=74∈Jx_0=\frac74\in J et g(J)⊂Jg(J)\subset J
  • B.Car xnx_n est constante
  • C.Car xn→+∞x_n\to+\infty
  • D.Faux : xnx_n sort de JJ
Réponse et explication dans l'app
7. Montrer par récurrence que ∀n, ∣xn−α∣≤(233)n∣x0−α∣\forall n,\ |x_n-\alpha|\le \left(\dfrac{2}{3\sqrt3}\right)^{n}|x_0-\alpha|.
  • A.Récurrence via ∣xn+1−α∣≤233∣xn−α∣|x_{n+1}-\alpha|\le\frac{2}{3\sqrt3}|x_n-\alpha|
  • B.∣xn−α∣≤233|x_n-\alpha|\le\frac{2}{3\sqrt3} (constant)
  • C.∣xn−α∣≥(233)n|x_n-\alpha|\ge\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^{n}
  • D.L'inégalité est fausse
Réponse et explication dans l'app
8. En déduire que (xn)(x_n) converge vers α\alpha.
  • A.(233)n→0\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^{n}\to0 (car 233<1\frac{2}{3\sqrt3}<1), donc xn→αx_n\to\alpha
  • B.xn→3x_n\to\sqrt3
  • C.xn→2x_n\to2
  • D.(xn)(x_n) diverge
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Exercice 3

Exercice 2 — Suites et intégrale

1. Montrer que pour tout k∈{1,…,n−1}k\in\{1,\dots,n-1\} et tout x∈[kn,k+1n]x\in\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right] : ln⁡kn≤ln⁡x≤ln⁡k+1n\ln\frac{k}{n}\le \ln x\le \ln\frac{k+1}{n}.
  • A.Vrai : ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
  • B.Faux : ln⁡\ln est décroissante
  • C.Vrai, mais parce que ln⁡\ln est concave
  • D.Faux : l'encadrement est inversé
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2. En déduire que 1nln⁡kn≤∫k/n(k+1)/nln⁡x dx≤1nln⁡k+1n\frac{1}{n}\ln\frac{k}{n}\le \int_{k/n}^{(k+1)/n}\ln x\,dx\le \frac{1}{n}\ln\frac{k+1}{n}.
  • A.On intègre l'encadrement sur [kn,k+1n]\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right] (longueur 1n\frac1n)
  • B.On dérive l'encadrement
  • C.Par le théorème des accroissements finis
  • D.L'intégrale vaut exactement 1nln⁡kn\frac1n\ln\frac{k}{n}
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3. Montrer que 1n∑k=1n−1ln⁡kn≤∫1/n1ln⁡x dx≤1n∑k=2nln⁡kn\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\ln\frac{k}{n}\le \int_{1/n}^{1}\ln x\,dx\le \frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}\ln\frac{k}{n}.
  • A.En sommant l'encadrement pour k=1k=1 à n−1n-1 (relation de Chasles)
  • B.Par récurrence sur nn
  • C.En dérivant terme à terme
  • D.C'est faux : les bornes sont 00 et 11
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4. En déduire que un≤∫1/n1ln⁡x dx≤un−1nln⁡1nu_n\le \int_{1/n}^{1}\ln x\,dx\le u_n-\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}.
  • A.1n∑k=1n−1ln⁡kn=un\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\frac{k}{n}=u_n et 1n∑k=2nln⁡kn=un−1nln⁡1n\frac1n\sum_{k=2}^{n}\ln\frac{k}{n}=u_n-\frac1n\ln\frac1n
  • B.Car un=∫1/n1ln⁡x dxu_n=\int_{1/n}^{1}\ln x\,dx
  • C.Par une intégration par parties
  • D.Car un=1nln⁡nu_n=\frac1n\ln n
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5. Montrer que −1+1n≤un≤−1+1n−1nln⁡1n-1+\frac{1}{n}\le u_n\le -1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}.
  • A.Car ∫1/n1ln⁡x dx=−1+1n−1nln⁡1n\int_{1/n}^{1}\ln x\,dx=-1+\frac1n-\frac1n\ln\frac1n (primitive xln⁡x−xx\ln x-x)
  • B.Car ∫1/n1ln⁡x dx=ln⁡n\int_{1/n}^{1}\ln x\,dx=\ln n
  • C.Car l'intégrale vaut −1-1
  • D.Car l'intégrale vaut 1−1n1-\frac1n
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6. Déterminer lim⁡n→+∞un\lim_{n\to+\infty}u_n.
  • A.−1-1
  • B.00
  • C.+∞+\infty
  • D.−∞-\infty
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Exercice 4

Exercice 3 — Nombres complexes

1. (Eθ)(E_\theta) est équivalente à (2z+(1−i)eiθ)2=A\big(2z+(1-i)e^{i\theta}\big)^2 = A. Que vaut AA ?
  • A.((1+i)eiθ)2\big((1+i)e^{i\theta}\big)^2
  • B.((1−i)eiθ)2\big((1-i)e^{i\theta}\big)^2
  • C.((1+i)e2iθ)2\big((1+i)e^{2i\theta}\big)^2
  • D.4ie2iθ4ie^{2i\theta}
Réponse et explication dans l'app
2. Que vaut (1−i)2(1-i)^2 ?
  • A.−2i-2i
  • B.2i2i
  • C.−2-2
  • D.22
Réponse et explication dans l'app
3. Sachant que Im(z1)≤0\mathrm{Im}(z_1)\le 0 sur [0,π[[0,\pi[, quelle est l'affixe z1z_1 ?
  • A.z1=−eiθz_1=-e^{i\theta}
  • B.z1=ieiθz_1=ie^{i\theta}
  • C.z1=eiθz_1=e^{i\theta}
  • D.z1=−ieiθz_1=-ie^{i\theta}
Réponse et explication dans l'app
4. Que vaut z1+1z2+i\dfrac{z_1+1}{z_2+i} ?
  • A.−tan⁡ ⁣(θ2)-\tan\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
  • B.tan⁡ ⁣(θ2)\tan\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
  • C.−cot⁡ ⁣(θ2)-\cot\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
  • D.−itan⁡ ⁣(θ2)-i\tan\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)
Réponse et explication dans l'app
5. Quelle est la forme exponentielle de z1+iz2z2+i\dfrac{z_1+iz_2}{z_2+i} ?
  • A.1cos⁡(θ/2) ei(θ/2+π/2)\dfrac{1}{\cos(\theta/2)}\,e^{i(\theta/2+\pi/2)}
  • B.1cos⁡(θ/2) ei(θ/2−π/2)\dfrac{1}{\cos(\theta/2)}\,e^{i(\theta/2-\pi/2)}
  • C.cos⁡(θ/2) eiθ/2\cos(\theta/2)\,e^{i\theta/2}
  • D.1sin⁡(θ/2) eiθ/2\dfrac{1}{\sin(\theta/2)}\,e^{i\theta/2}
Réponse et explication dans l'app
6. Quelle est l'affixe pp de P=R(Q)P=R(Q) ?
  • A.p=imeiθp=ime^{i\theta}
  • B.p=meiθp=me^{i\theta}
  • C.p=−imeiθp=-ime^{i\theta}
  • D.p=mei(θ+π)p=me^{i(\theta+\pi)}
Réponse et explication dans l'app
7. À quel point est égal R(A)R(A) ?
  • A.CC
  • B.BB
  • C.QQ
  • D.OO
Réponse et explication dans l'app
8. Que vaut p−ah\dfrac{p-a}{h} ?
  • A.m2+1m i\dfrac{m^2+1}{m}\,i
  • B.m2−1m i\dfrac{m^2-1}{m}\,i
  • C.m2+1m\dfrac{m^2+1}{m}
  • D.mm2+1 i\dfrac{m}{m^2+1}\,i
Réponse et explication dans l'app
9. Que vaut h−ap−a\dfrac{h-a}{p-a} ? (ce qui prouve l'alignement de A,H,PA,H,P)
  • A.1m2+1\dfrac{1}{m^2+1}
  • B.1m2−1\dfrac{1}{m^2-1}
  • C.mm2+1\dfrac{m}{m^2+1}
  • D.im2+1\dfrac{i}{m^2+1}
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10. Que vaut b−hq−h\dfrac{b-h}{q-h} ? (ce qui prouve (QH)⊥(HB)(QH)\perp(HB))
  • A.im\dfrac{i}{m}
  • B.1m\dfrac{1}{m}
  • C.im2\dfrac{i}{m^2}
  • D.−im-\dfrac{i}{m}
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Exercice 5

Exercice 4 — Arithmétique

1. Si (x0,y0)∈Z2(x_0,y_0)\in\mathbb{Z}^2 est solution de (E)(E), en multipliant par bdbd on obtient adx0−bdy0=bcadx_0-bdy_0=bc. Que peut-on en déduire ?
  • A.d∣bcd\mid bc
  • B.d∣acd\mid ac
  • C.b∣cdb\mid cd
  • D.d∣abd\mid ab
Réponse et explication dans l'app
2. Sachant que d∣bcd\mid bc et c∧d=1c\wedge d=1, que donne le lemme de Gauss ?
  • A.d∣bd\mid b
  • B.d∣cd\mid c
  • C.b∣db\mid d
  • D.c∣bc\mid b
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3. On pose b=ndb=nd. Puisque a∧b=1a\wedge b=1, quel couple le théorème de Bézout garantit-il ?
  • A.(u,v)(u,v) avec dnu−av=1dnu-av=1
  • B.(u,v)(u,v) avec du−av=1du-av=1
  • C.(u,v)(u,v) avec dnu−av=ndnu-av=n
  • D.(u,v)(u,v) avec anu−dv=1anu-dv=1
Réponse et explication dans l'app
4. Les solutions de l'équation homogène ndy−ax=0ndy-ax=0 (avec a∧nd=1a\wedge nd=1) sont :
  • A.x=ndk, y=ak, k∈Zx=ndk,\ y=ak,\ k\in\mathbb{Z}
  • B.x=ak, y=ndkx=ak,\ y=ndk
  • C.x=nk, y=dkx=nk,\ y=dk
  • D.x=dk, y=nkx=dk,\ y=nk
Réponse et explication dans l'app
5. Pour (F):y=32975x−2119(F): y=\dfrac{3}{2975}x-\dfrac{2}{119}, on identifie a=3,b=2975,c=2,d=119a=3,b=2975,c=2,d=119. Que vaut n=bdn=\dfrac{b}{d} ?
  • A.n=25n=25
  • B.n=17n=17
  • C.n=7n=7
  • D.n=119n=119
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6. Quel couple (u,v)∈N2(u,v)\in\mathbb{N}^2 vérifie 2975u−3v=12975u-3v=1 ?
  • A.(2, 1983)(2,\,1983)
  • B.(1, 991)(1,\,991)
  • C.(2, 1487)(2,\,1487)
  • D.(1, 1983)(1,\,1983)
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7. En multipliant (F)(F) par 29752975, à quelle équation diophantienne aboutit-on ?
  • A.3x−2975y=503x-2975y=50
  • B.3x−2975y=23x-2975y=2
  • C.2975y−3x=22975y-3x=2
  • D.3x−2975y=13x-2975y=1
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8. Quel est l'ensemble SS des solutions de (F)(F) ?
  • A.S={(2000+2975k ; 2+3k)∣k∈Z}S=\{(2000+2975k\,;\,2+3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • B.S={(−3966+2975k ; −4+3k)∣k∈Z}S=\{(-3966+2975k\,;\,-4+3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • C.S={(2000+3k ; 2+2975k)∣k∈Z}S=\{(2000+3k\,;\,2+2975k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • D.S={(2000+119k ; 2+3k)∣k∈Z}S=\{(2000+119k\,;\,2+3k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
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Exercice 6

Exercice 5 — Structures algébriques

1. Que vaut (1−i)∗(3+2i)(1-i)*(3+2i) ?
  • A.−2+i-2+i
  • B.4+i4+i
  • C.−2−i-2-i
  • D.2+i2+i
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2. Que vaut (3+2i)∗(1−i)(3+2i)*(1-i) ? (ce qui montre que ∗* n'est pas commutative)
  • A.4+i4+i
  • B.−2+i-2+i
  • C.4−i4-i
  • D.2+i2+i
Réponse et explication dans l'app
3. Quel est l'élément neutre de (E,∗)(E,*) ?
  • A.0=0+0i0=0+0i
  • B.1+0i1+0i
  • C.1+i1+i
  • D.0+i0+i
Réponse et explication dans l'app
4. Quel est le symétrique de x+yix+yi pour ∗* ?
  • A.(−1)y+1x−yi(-1)^{y+1}x-yi
  • B.−x−yi-x-yi
  • C.(−1)yx−yi(-1)^{y}x-yi
  • D.−x+yi-x+yi
Réponse et explication dans l'app
5. L'identité qui assure l'associativité de ∗* est :
  • A.(−1)y(−1)y′=(−1)y+y′(-1)^{y}(-1)^{y'}=(-1)^{y+y'}
  • B.(−1)y+(−1)y′=(−1)y+y′(-1)^{y}+(-1)^{y'}=(-1)^{y+y'}
  • C.(−1)yy′=(−1)y+y′(-1)^{yy'}=(-1)^{y+y'}
  • D.(−1)y(−1)y′=(−1)yy′(-1)^{y}(-1)^{y'}=(-1)^{yy'}
Réponse et explication dans l'app
6. Que peut-on conclure sur (E,∗)(E,*) ?
  • A.C'est un groupe non commutatif
  • B.C'est un groupe commutatif
  • C.C'est un anneau
  • D.Ce n'est pas un groupe
Réponse et explication dans l'app
7. Pourquoi ∗* est-elle commutative dans F={x+2yi}F=\{x+2yi\} ?
  • A.car (−1)2y=1(-1)^{2y}=1
  • B.car y=0y=0
  • C.car FF est fini
  • D.car x=x′x=x'
Réponse et explication dans l'app
8. Que vaut φ(a∗b)\varphi(a*b) pour a,b∈Fa,b\in F ?
  • A.φ(a)×φ(b)\varphi(a)\times\varphi(b)
  • B.φ(a)+φ(b)\varphi(a)+\varphi(b)
  • C.φ(a)\varphi(a)
  • D.φ(a)×φ(b)+I3\varphi(a)\times\varphi(b)+I_3
Réponse et explication dans l'app
9. Que vaut φ(F)\varphi(F) ?
  • A.GG
  • B.M3(R)M_3(\mathbb{R})
  • C.FF
  • D.{I3}\{I_3\}
Réponse et explication dans l'app
10. φ\varphi étant un isomorphisme de (F,∗)(F,*) sur (G,×)(G,\times) et (F,∗)(F,*) commutatif, (G,×)(G,\times) est :
  • A.un groupe commutatif
  • B.un groupe non commutatif
  • C.un anneau
  • D.un corps
Réponse et explication dans l'app

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