Examen National · Session normale

Mathématiques — Examen National 2026

2ème année Bac 4hBarème 20 ptsÉnoncé officiel
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Exercice 1

Exercice 1 — Analyse (Partie I)

On pose g(x)=ex−x−1x2g(x)=\dfrac{e^{x}-x-1}{x^{2}} pour x>0x>0, I(x)=∫0xt e−t dtI(x)=\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{-t}\,dt et J(x)=∫0xt et dtJ(x)=\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{t}\,dt pour x≥0x\ge 0.

  1. 1. Pour montrer que 1+x≤ex1+x\le e^{x} sur R\mathbb{R}, on étudie h(x)=ex−x−1h(x)=e^{x}-x-1. Que vaut le minimum de hh ?
    0.25 pt
    Ah(0)=0h(0)=0
    Bh(1)=e−2h(1)=e-2
    C−1-1
    Dhh n'a pas de minimum
  2. 2. En intégrant 1+t≤et1+t\le e^{t} sur [0,x][0,x] (avec x≥0x\ge 0), on obtient :
    0.25 pt
    Ax22+x+1≤ex\frac{x^{2}}{2}+x+1\le e^{x}
    Bx22+1≤ex\frac{x^{2}}{2}+1\le e^{x}
    Cx+1≤exx+1\le e^{x}
    Dx22+x≤ex\frac{x^{2}}{2}+x\le e^{x}
  3. 3. Pourquoi a-t-on I(x)≤x22I(x)\le \dfrac{x^{2}}{2} sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
    0.25 pt
    Acar e−t≤1e^{-t}\le 1 pour t≥0t\ge 0, donc t e−t≤tt\,e^{-t}\le t
    Bcar e−t≥1e^{-t}\ge 1
    Ccar t e−t≥tt\,e^{-t}\ge t
    Dcar I(x)≤0I(x)\le 0
  4. 4. Que vaut I(x)=∫0xt e−t dtI(x)=\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{-t}\,dt ?
    0.5 pt
    A−xe−x−e−x+1-x e^{-x}-e^{-x}+1
    Bxe−x+e−x−1x e^{-x}+e^{-x}-1
    C1−e−x1-e^{-x}
    D−xe−x+1-x e^{-x}+1
  5. 5. Quel encadrement de g(x)=ex−x−1x2g(x)=\dfrac{e^{x}-x-1}{x^{2}} a-t-on sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ?
    0.5 pt
    A12≤g(x)≤ex2\frac12\le g(x)\le \frac{e^{x}}{2}
    B0≤g(x)≤10\le g(x)\le 1
    Cex2≤g(x)≤12\frac{e^{x}}{2}\le g(x)\le \frac12
    D1≤g(x)≤ex1\le g(x)\le e^{x}
  6. 6. En déduire lim⁡x→0+g(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} g(x).
    0.25 pt
    A12\frac12
    B00
    C11
    D+∞+\infty
Exercice 2

Exercice 1 — Analyse (Partie II)

On définit ff sur [0,+∞[[0,+\infty[ par f(x)=xex−e−xf(x)=\dfrac{x}{e^{x}-e^{-x}} pour x>0x>0 et f(0)=12f(0)=\dfrac12. On pose (un)(u_n) : u0=0u_0=0, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).

  1. 1. Que vaut lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) ?
    0.5 pt
    A00
    B12\frac12
    C+∞+\infty
    D11
  2. 2. Que vaut lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x) ?
    0.25 pt
    A12=f(0)\frac12=f(0) : ff est continue à droite en 00
    B00
    C11
    Dla limite n'existe pas
  3. 3. f(x)−f(0)x\dfrac{f(x)-f(0)}{x} est égale à :
    0.25 pt
    A−e−xf(x) e2x−2xex−12x2-e^{-x}f(x)\,\dfrac{e^{2x}-2xe^{x}-1}{2x^{2}}
    Be−xf(x) e2x−12x2e^{-x}f(x)\,\dfrac{e^{2x}-1}{2x^{2}}
    Cf(x)2x\dfrac{f(x)}{2x}
    D−f(x)x2-\dfrac{f(x)}{x^{2}}
  4. 4. e2x−2xex−12x2\dfrac{e^{2x}-2xe^{x}-1}{2x^{2}} s'écrit :
    0.25 pt
    A2g(2x)−ex−1x2g(2x)-\dfrac{e^{x}-1}{x}
    Bg(2x)−ex−1xg(2x)-\dfrac{e^{x}-1}{x}
    C2g(x)−ex−1x2g(x)-\dfrac{e^{x}-1}{x}
    D2g(2x)+ex−1x2g(2x)+\dfrac{e^{x}-1}{x}
  5. 5. ff est-elle dérivable à droite en 00, et que vaut fd′(0)f'_d(0) ?
    0.25 pt
    Aoui, fd′(0)=0f'_d(0)=0
    Boui, fd′(0)=12f'_d(0)=\frac12
    Coui, fd′(0)=1f'_d(0)=1
    Dnon, ff n'est pas dérivable en 00
  6. 6. Pourquoi 0≤I(x)≤J(x)0\le I(x)\le J(x) sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
    0.5 pt
    Acar 0≤t e−t≤t et0\le t\,e^{-t}\le t\,e^{t} pour t≥0t\ge 0
    Bcar e−t≥ete^{-t}\ge e^{t}
    Ccar I(x)≥J(x)I(x)\ge J(x)
    Dcar t et≤t e−tt\,e^{t}\le t\,e^{-t}
  7. 7. Que vaut J(x)=∫0xt et dtJ(x)=\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{t}\,dt ?
    0.25 pt
    A(x−1)ex+1(x-1)e^{x}+1
    B(x+1)ex−1(x+1)e^{x}-1
    Cxexx e^{x}
    D(x−1)ex−1(x-1)e^{x}-1
  8. 8. Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, f′(x)f'(x) est égal à :
    0.5 pt
    AI(x)−J(x)(ex−e−x)2\dfrac{I(x)-J(x)}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}
    BJ(x)−I(x)(ex−e−x)2\dfrac{J(x)-I(x)}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}
    CI(x)−J(x)ex−e−x\dfrac{I(x)-J(x)}{e^{x}-e^{-x}}
    DI(x)+J(x)(ex−e−x)2\dfrac{I(x)+J(x)}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}
  9. 9. Quel est le sens de variation de ff sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
    0.25 pt
    Astrictement décroissante
    Bstrictement croissante
    Cconstante
    Dnon monotone
  10. 10. ff réalise une bijection de [0,+∞[[0,+\infty[ vers :
    0.25 pt
    A]0,12]\left]0,\tfrac12\right]
    B[0,12]\left[0,\tfrac12\right]
    C[0,+∞[[0,+\infty[
    D]0,1[\left]0,1\right[
  11. 11. L'équation f(x)=xf(x)=x équivaut (pour x>0x>0) à ex−e−x=1e^{x}-e^{-x}=1. Sa solution α\alpha vaut :
    0.5 pt
    Aln⁡1+52\ln\dfrac{1+\sqrt5}{2}
    Bln⁡1+32\ln\dfrac{1+\sqrt3}{2}
    Cln⁡(1+5)\ln(1+\sqrt5)
    D1+52\dfrac{1+\sqrt5}{2}
  12. 12. Comment obtient-on la courbe de f−1f^{-1} à partir de celle de ff ?
    0.5 pt
    Apar symétrie par rapport à la droite y=xy=x
    Bpar symétrie par rapport à l'axe (Ox)(Ox)
    Cpar symétrie par rapport à l'axe (Oy)(Oy)
    Dpar une translation
  13. 13. Que peut-on affirmer sur (un)(u_n) par récurrence ?
    0.25 pt
    A∀n, 0≤un≤12\forall n,\ 0\le u_n\le \tfrac12
    B∀n, 0≤un≤1\forall n,\ 0\le u_n\le 1
    C∀n, un≥12\forall n,\ u_n\ge \tfrac12
    D∀n, un≤0\forall n,\ u_n\le 0
  14. 14. Quelle inégalité relie ∣un+1−α∣|u_{n+1}-\alpha| et ∣un−α∣|u_n-\alpha| ?
    0.5 pt
    A∣un+1−α∣≤12 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \tfrac12\,|u_n-\alpha|
    B∣un+1−α∣≤13 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \tfrac13\,|u_n-\alpha|
    C∣un+1−α∣≤2 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le 2\,|u_n-\alpha|
    D∣un+1−α∣≤∣un−α∣2|u_{n+1}-\alpha|\le |u_n-\alpha|^{2}
  15. 15. On en déduit, pour tout nn :
    0.5 pt
    A∣un−α∣≤(12)n|u_n-\alpha|\le \left(\tfrac12\right)^{n}
    B∣un−α∣≤(12)n+1|u_n-\alpha|\le \left(\tfrac12\right)^{n+1}
    C∣un−α∣≤12n|u_n-\alpha|\le \tfrac{1}{2n}
    D∣un−α∣≤12|u_n-\alpha|\le \tfrac12
  16. 16. Que peut-on conclure sur la suite (un)(u_n) ?
    0.25 pt
    Aelle converge vers α\alpha
    Belle diverge
    Celle converge vers 00
    Delle converge vers 12\tfrac12
Exercice 3

Exercice 1 — Analyse (Partie III)

On définit FF sur [0,+∞[[0,+\infty[ par F(x)=∫x2xf(t) dtF(x)=\displaystyle\int_{x}^{2x} f(t)\,dt, où ff est la fonction de la Partie II.

  1. 1. Quel encadrement de F(x)F(x) a-t-on sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
    0.5 pt
    A0≤F(x)≤x f(x)0\le F(x)\le x\,f(x)
    Bx f(x)≤F(x)≤0x\,f(x)\le F(x)\le 0
    C0≤F(x)≤f(x)0\le F(x)\le f(x)
    D0≤F(x)≤2x f(2x)0\le F(x)\le 2x\,f(2x)
  2. 2. Que vaut lim⁡x→+∞F(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x) ?
    0.25 pt
    A00
    B12\frac12
    C+∞+\infty
    D11
  3. 3. Que représente graphiquement F(x)F(x) ?
    0.25 pt
    Al'aire du domaine entre (C)(C), l'axe des abscisses et les droites t=xt=x, t=2xt=2x
    Bla pente de (C)(C) en xx
    Cla longueur de (C)(C) sur [x,2x][x,2x]
    Dle volume engendré par (C)(C)
  4. 4. FF est-elle dérivable sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
    0.25 pt
    Aoui : ff continue admet une primitive Φ\Phi et F(x)=Φ(2x)−Φ(x)F(x)=\Phi(2x)-\Phi(x)
    Bnon, FF n'est pas dérivable
    Coui, mais seulement sur ]0,+∞[]0,+\infty[
    Dnon, ff n'est pas continue
  5. 5. Que vaut F′(x)F'(x) ?
    0.5 pt
    A−f(x)e2x+1 (e2x−4ex+1)\dfrac{-f(x)}{e^{2x}+1}\,(e^{2x}-4e^{x}+1)
    B2f(2x)+f(x)2f(2x)+f(x)
    Cf(2x)−f(x)f(2x)-f(x)
    Df(x)e2x+1 (e2x−4ex+1)\dfrac{f(x)}{e^{2x}+1}\,(e^{2x}-4e^{x}+1)
  6. 6. FF admet-elle un extremum, et où ?
    0.5 pt
    Aoui, un maximum en x0=ln⁡(2+3)x_0=\ln(2+\sqrt3)
    Boui, un minimum en ln⁡(2+3)\ln(2+\sqrt3)
    Coui, un maximum en ln⁡2\ln 2
    Dnon, FF est monotone
Exercice 4

Exercice 2 — Nombres complexes

On pose m=2 eiθm=\sqrt2\,e^{i\theta}, θ∈R∖{kπ}\theta\in\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}. L'équation (Em)(E_m) : mz2−2z+m=0m z^{2}-2z+m=0 a pour racines z1,z2z_1,z_2. Dans le plan, A,B,M,M1,M2A,B,M,M_1,M_2 ont pour affixes a=1a=1, b=−1b=-1, mm, z1z_1, z2z_2 ; RR est la rotation de centre OO et d'angle π2\tfrac{\pi}{2}, et HH le point d'affixe h=−i2 sin⁡θ e2iθh=\dfrac{-i}{\sqrt2\,\sin\theta}\,e^{2i\theta}.

  1. 1. Sachant que z1+z2=2m=m‾z_1+z_2=\dfrac{2}{m}=\overline{m} et z1=m(1−i)2z_1=\dfrac{m(1-i)}{2}, que vaut z2z_2 ?
    0.25 pt
    Am(1+i)2\dfrac{m(1+i)}{2}
    Bm(1−i)2\dfrac{m(1-i)}{2}
    Cm2\dfrac{m}{2}
    Dm(1+i)m(1+i)
  2. 2. Quelle est la forme exponentielle de z1z_1 ?
    0.25 pt
    Aei(θ−π/4)e^{i(\theta-\pi/4)}
    Bei(θ+π/4)e^{i(\theta+\pi/4)}
    C2 eiθ\sqrt2\,e^{i\theta}
    Deiθe^{i\theta}
  3. 3. Que vaut l'image R(M1)R(M_1) ?
    0.25 pt
    AM2M_2
    BMM
    CAA
    DOO
  4. 4. Pourquoi (MM1)⊥(OM1)(MM_1)\perp(OM_1) ?
    0.5 pt
    Acar m−z1z1=i∈iR∗\dfrac{m-z_1}{z_1}=i\in i\mathbb{R}^{*}
    Bcar m−z1z1=1\dfrac{m-z_1}{z_1}=1
    Ccar ∣m−z1∣=0|m-z_1|=0
    Dcar m=z1m=z_1
  5. 5. Que valent OM1OM_1 et OM2OM_2 ?
    0.25 pt
    AOM1=OM2=1OM_1=OM_2=1
    BOM1=OM2=2OM_1=OM_2=\sqrt2
    COM1=1, OM2=2OM_1=1,\ OM_2=2
    DOM1=OM2=2OM_1=OM_2=2
  6. 6. Quelle est la nature du quadrilatère OM1MM2OM_1MM_2 ?
    0.25 pt
    Aun carré
    Bun losange non carré
    Cun rectangle non carré
    Dun parallélogramme quelconque
  7. 7. Que vaut Re(m−h)\mathrm{Re}(m-h) ?
    0.5 pt
    A00
    B2cos⁡θ\sqrt2\cos\theta
    C11
    D2cos⁡θ2\cos\theta
  8. 8. Que vaut Re ⁣(a−hm+1)\mathrm{Re}\!\left(\dfrac{a-h}{m+1}\right) ?
    0.25 pt
    A00
    B11
    C12\tfrac12
    D−1-1
  9. 9. Que peut-on conclure sur le point HH dans le triangle ABMABM ?
    0.5 pt
    AHH est l'orthocentre de ABMABM
    BHH est le centre de gravité
    CHH est le centre du cercle circonscrit
    DHH est le milieu de [AB][AB]
  10. 10. Que vaut h−z1z2−z1\dfrac{h-z_1}{z_2-z_1} ?
    0.25 pt
    A12(1−cot⁡θ)\dfrac12(1-\cot\theta)
    B12(1+cot⁡θ)\dfrac12(1+\cot\theta)
    C1−cot⁡θ1-\cot\theta
    Di2\dfrac{i}{2}
  11. 11. Qu'en déduit-on pour HH, M1M_1, M2M_2 ?
    0.25 pt
    Ails sont alignés
    Bils forment un triangle équilatéral
    Cils forment un triangle rectangle
    Dils sont confondus
Exercice 5

Exercice 3 — Arithmétique et probabilités

Partie I : on étudie (F)(F) : 5u−9v=15u-9v=1 dans Z2\mathbb{Z}^{2}, puis (E)(E) : x2026≡5 [19]x^{2026}\equiv 5\ [19]. Partie II : une urne contient 100100 boules numérotées de 11 à 100100 ; VV est l'événement « le numéro tiré est solution de (E)(E) ».

  1. 1. Une solution particulière (u0,v0)∈N2(u_0,v_0)\in\mathbb{N}^{2} de (F)(F) : 5u−9v=15u-9v=1 est :
    0.25 pt
    A(2,1)(2,1)
    B(1,1)(1,1)
    C(9,5)(9,5)
    D(2,2)(2,2)
  2. 2. L'ensemble des solutions de (F)(F) est :
    0.25 pt
    A{(2+9k, 1+5k)∣k∈Z}\{(2+9k,\ 1+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    B{(2+5k, 1+9k)∣k∈Z}\{(2+5k,\ 1+9k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    C{(1+9k, 2+5k)∣k∈Z}\{(1+9k,\ 2+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    D{(2+9k, 1−5k)∣k∈Z}\{(2+9k,\ 1-5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  3. 3. Vérifier que 5u0≡6 [19]5^{u_0}\equiv 6\ [19] (avec u0=2u_0=2) :
    0.25 pt
    A52=25≡6 [19]5^{2}=25\equiv 6\ [19]
    B52=25≡5 [19]5^{2}=25\equiv 5\ [19]
    C52=25≡7 [19]5^{2}=25\equiv 7\ [19]
    D52=25≡0 [19]5^{2}=25\equiv 0\ [19]
  4. 4. Soit xx une solution de (E)(E). Que donne le petit théorème de Fermat ?
    0.5 pt
    Ax18≡1 [19]x^{18}\equiv 1\ [19]
    Bx19≡1 [19]x^{19}\equiv 1\ [19]
    Cx18≡0 [19]x^{18}\equiv 0\ [19]
    Dx17≡1 [19]x^{17}\equiv 1\ [19]
  5. 5. En utilisant 2026=18×112+102026=18\times112+10, on obtient :
    0.25 pt
    Ax10≡5 [19]x^{10}\equiv 5\ [19]
    Bx10≡1 [19]x^{10}\equiv 1\ [19]
    Cx12≡5 [19]x^{12}\equiv 5\ [19]
    Dx10≡6 [19]x^{10}\equiv 6\ [19]
  6. 6. On en déduit :
    0.25 pt
    Ax2≡6 [19]x^{2}\equiv 6\ [19]
    Bx2≡5 [19]x^{2}\equiv 5\ [19]
    Cx2≡1 [19]x^{2}\equiv 1\ [19]
    Dx2≡25 [19]x^{2}\equiv 25\ [19]
  7. 7. Les solutions de (E)(E) vérifient donc :
    0.25 pt
    Ax≡5 [19]x\equiv 5\ [19] ou x≡14 [19]x\equiv 14\ [19]
    Bx≡6 [19]x\equiv 6\ [19] seulement
    Cx≡5 [19]x\equiv 5\ [19] seulement
    Dx≡0 [19]x\equiv 0\ [19]
  8. 8. Réciproquement, si x≡±5 [19]x\equiv\pm5\ [19], alors xx est solution de (E)(E) car :
    0.5 pt
    Ax10≡65≡5 [19]x^{10}\equiv 6^{5}\equiv 5\ [19] donc x2026≡5x^{2026}\equiv 5
    Bx10≡6x^{10}\equiv 6 donc x2026≡6x^{2026}\equiv 6
    Cx≡0x\equiv0
    Dx18≡5x^{18}\equiv5
  9. 9. La probabilité p=P(V)p=P(V) vaut :
    0.25 pt
    A0,110{,}11
    B0,050{,}05
    C0,190{,}19
    D0,100{,}10
  10. 10. On répète nn tirages avec remise. La valeur minimale de nn telle que P(« V au moins une fois »)>0,95P(\text{« }V\text{ au moins une fois »})>0{,}95 est :
    0.25 pt
    A2626
    B2525
    C2020
    D3030
Exercice 6

Exercice 4 — Structures algébriques

Dans (M3(R),+,×)(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),+,\times) (zéro OO, unité II), on pose M(x)=(100x21−xxx2+2x−xx+1)M(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x^{2}&1-x&x\\x^{2}+2x&-x&x+1\end{pmatrix} et E={M(x)∣x∈R}E=\{M(x)\mid x\in\mathbb{R}\}. On définit sur EE la loi TT par M(x) T M(y)=M(2xy)M(x)\,T\,M(y)=M(2xy).

  1. 1. Que vaut M(x)×M(y)M(x)\times M(y) ?
    0.5 pt
    AM(x+y)M(x+y)
    BM(xy)M(xy)
    CM(x)+M(y)M(x)+M(y)
    DM(2xy)M(2xy)
  2. 2. L'application φ:x↦M(x)\varphi:x\mapsto M(x) vérifie :
    0.5 pt
    Aφ\varphi est un homomorphisme de (R,+)(\mathbb{R},+) vers (M3(R),×)(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\times) et φ(R)=E\varphi(\mathbb{R})=E
    Bφ\varphi va de (R,×)(\mathbb{R},\times) vers (M3,×)(\mathcal{M}_3,\times)
    Cφ\varphi n'est pas un homomorphisme
    Dφ(R)=M3(R)\varphi(\mathbb{R})=\mathcal{M}_3(\mathbb{R})
  3. 3. Que peut-on dire de (E,×)(E,\times) ?
    0.25 pt
    Ac'est un groupe commutatif, d'élément neutre I=M(0)I=M(0)
    Bc'est un groupe non commutatif
    Cc'est un anneau non intègre
    Dce n'est pas un groupe
  4. 4. Pour la loi TT, l'élément neutre de (E∖{I},T)(E\setminus\{I\},T) est :
    0.75 pt
    AM ⁣(12)M\!\left(\tfrac12\right)
    BM(1)M(1)
    CM(0)=IM(0)=I
    DM(2)M(2)
  5. 5. Que peut-on conclure sur (E,×,T)(E,\times,T) ?
    0.5 pt
    Ac'est un corps commutatif
    Bc'est seulement un anneau
    Cc'est un espace vectoriel
    Dce n'est pas un anneau
  6. 6. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, (M(x))n\big(M(x)\big)^{n} vaut :
    0.5 pt
    AM(nx)M(nx)
    BM(xn)M(x^{n})
    CM(x)nM(x)^{n} (non simplifiable)
    Dn M(x)n\,M(x)
  7. 7. La solution dans EE de X3−X2=(00051−131−1)X^{3}-X^{2}=\begin{pmatrix}0&0&0\\5&1&-1\\3&1&-1\end{pmatrix} est :
    0.5 pt
    AX=M(−1)X=M(-1)
    BX=M(1)X=M(1)
    CX=M(−2)X=M(-2)
    DX=M(2)X=M(2)

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