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Correction — Mathématiques 2026

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h'(x)=e^{x}-1 s'annule en 0 ; h y atteint son minimum h(0)=0, donc h\ge 0 et 1+x\le e^{x}.…

La suite, les réponses et les explications sont dans l'app.Continuer dans l'app
Exercice 1

Exercice 1 — Analyse (Partie I)

1. Pour montrer que 1+x≤ex1+x\le e^{x} sur R\mathbb{R}, on étudie h(x)=ex−x−1h(x)=e^{x}-x-1. Que vaut le minimum de hh ?
  • A.h(0)=0h(0)=0
  • B.h(1)=e−2h(1)=e-2
  • C.−1-1
  • D.hh n'a pas de minimum
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2. En intégrant 1+t≤et1+t\le e^{t} sur [0,x][0,x] (avec x≥0x\ge 0), on obtient :
  • A.x22+x+1≤ex\frac{x^{2}}{2}+x+1\le e^{x}
  • B.x22+1≤ex\frac{x^{2}}{2}+1\le e^{x}
  • C.x+1≤exx+1\le e^{x}
  • D.x22+x≤ex\frac{x^{2}}{2}+x\le e^{x}
Réponse et explication dans l'app
3. Pourquoi a-t-on I(x)≤x22I(x)\le \dfrac{x^{2}}{2} sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
  • A.car e−t≤1e^{-t}\le 1 pour t≥0t\ge 0, donc t e−t≤tt\,e^{-t}\le t
  • B.car e−t≥1e^{-t}\ge 1
  • C.car t e−t≥tt\,e^{-t}\ge t
  • D.car I(x)≤0I(x)\le 0
Réponse et explication dans l'app
4. Que vaut I(x)=∫0xt e−t dtI(x)=\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{-t}\,dt ?
  • A.−xe−x−e−x+1-x e^{-x}-e^{-x}+1
  • B.xe−x+e−x−1x e^{-x}+e^{-x}-1
  • C.1−e−x1-e^{-x}
  • D.−xe−x+1-x e^{-x}+1
Réponse et explication dans l'app
5. Quel encadrement de g(x)=ex−x−1x2g(x)=\dfrac{e^{x}-x-1}{x^{2}} a-t-on sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ?
  • A.12≤g(x)≤ex2\frac12\le g(x)\le \frac{e^{x}}{2}
  • B.0≤g(x)≤10\le g(x)\le 1
  • C.ex2≤g(x)≤12\frac{e^{x}}{2}\le g(x)\le \frac12
  • D.1≤g(x)≤ex1\le g(x)\le e^{x}
Réponse et explication dans l'app
6. En déduire lim⁡x→0+g(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} g(x).
  • A.12\frac12
  • B.00
  • C.11
  • D.+∞+\infty
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Exercice 2

Exercice 1 — Analyse (Partie II)

1. Que vaut lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) ?
  • A.00
  • B.12\frac12
  • C.+∞+\infty
  • D.11
Réponse et explication dans l'app
2. Que vaut lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x) ?
  • A.12=f(0)\frac12=f(0) : ff est continue à droite en 00
  • B.00
  • C.11
  • D.la limite n'existe pas
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3. f(x)−f(0)x\dfrac{f(x)-f(0)}{x} est égale à :
  • A.−e−xf(x) e2x−2xex−12x2-e^{-x}f(x)\,\dfrac{e^{2x}-2xe^{x}-1}{2x^{2}}
  • B.e−xf(x) e2x−12x2e^{-x}f(x)\,\dfrac{e^{2x}-1}{2x^{2}}
  • C.f(x)2x\dfrac{f(x)}{2x}
  • D.−f(x)x2-\dfrac{f(x)}{x^{2}}
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4. e2x−2xex−12x2\dfrac{e^{2x}-2xe^{x}-1}{2x^{2}} s'écrit :
  • A.2g(2x)−ex−1x2g(2x)-\dfrac{e^{x}-1}{x}
  • B.g(2x)−ex−1xg(2x)-\dfrac{e^{x}-1}{x}
  • C.2g(x)−ex−1x2g(x)-\dfrac{e^{x}-1}{x}
  • D.2g(2x)+ex−1x2g(2x)+\dfrac{e^{x}-1}{x}
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5. ff est-elle dérivable à droite en 00, et que vaut fd′(0)f'_d(0) ?
  • A.oui, fd′(0)=0f'_d(0)=0
  • B.oui, fd′(0)=12f'_d(0)=\frac12
  • C.oui, fd′(0)=1f'_d(0)=1
  • D.non, ff n'est pas dérivable en 00
Réponse et explication dans l'app
6. Pourquoi 0≤I(x)≤J(x)0\le I(x)\le J(x) sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
  • A.car 0≤t e−t≤t et0\le t\,e^{-t}\le t\,e^{t} pour t≥0t\ge 0
  • B.car e−t≥ete^{-t}\ge e^{t}
  • C.car I(x)≥J(x)I(x)\ge J(x)
  • D.car t et≤t e−tt\,e^{t}\le t\,e^{-t}
Réponse et explication dans l'app
7. Que vaut J(x)=∫0xt et dtJ(x)=\displaystyle\int_0^{x} t\,e^{t}\,dt ?
  • A.(x−1)ex+1(x-1)e^{x}+1
  • B.(x+1)ex−1(x+1)e^{x}-1
  • C.xexx e^{x}
  • D.(x−1)ex−1(x-1)e^{x}-1
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8. Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, f′(x)f'(x) est égal à :
  • A.I(x)−J(x)(ex−e−x)2\dfrac{I(x)-J(x)}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}
  • B.J(x)−I(x)(ex−e−x)2\dfrac{J(x)-I(x)}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}
  • C.I(x)−J(x)ex−e−x\dfrac{I(x)-J(x)}{e^{x}-e^{-x}}
  • D.I(x)+J(x)(ex−e−x)2\dfrac{I(x)+J(x)}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}
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9. Quel est le sens de variation de ff sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
  • A.strictement décroissante
  • B.strictement croissante
  • C.constante
  • D.non monotone
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10. ff réalise une bijection de [0,+∞[[0,+\infty[ vers :
  • A.]0,12]\left]0,\tfrac12\right]
  • B.[0,12]\left[0,\tfrac12\right]
  • C.[0,+∞[[0,+\infty[
  • D.]0,1[\left]0,1\right[
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11. L'équation f(x)=xf(x)=x équivaut (pour x>0x>0) à ex−e−x=1e^{x}-e^{-x}=1. Sa solution α\alpha vaut :
  • A.ln⁡1+52\ln\dfrac{1+\sqrt5}{2}
  • B.ln⁡1+32\ln\dfrac{1+\sqrt3}{2}
  • C.ln⁡(1+5)\ln(1+\sqrt5)
  • D.1+52\dfrac{1+\sqrt5}{2}
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12. Comment obtient-on la courbe de f−1f^{-1} à partir de celle de ff ?
  • A.par symétrie par rapport à la droite y=xy=x
  • B.par symétrie par rapport à l'axe (Ox)(Ox)
  • C.par symétrie par rapport à l'axe (Oy)(Oy)
  • D.par une translation
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13. Que peut-on affirmer sur (un)(u_n) par récurrence ?
  • A.∀n, 0≤un≤12\forall n,\ 0\le u_n\le \tfrac12
  • B.∀n, 0≤un≤1\forall n,\ 0\le u_n\le 1
  • C.∀n, un≥12\forall n,\ u_n\ge \tfrac12
  • D.∀n, un≤0\forall n,\ u_n\le 0
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14. Quelle inégalité relie ∣un+1−α∣|u_{n+1}-\alpha| et ∣un−α∣|u_n-\alpha| ?
  • A.∣un+1−α∣≤12 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \tfrac12\,|u_n-\alpha|
  • B.∣un+1−α∣≤13 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le \tfrac13\,|u_n-\alpha|
  • C.∣un+1−α∣≤2 ∣un−α∣|u_{n+1}-\alpha|\le 2\,|u_n-\alpha|
  • D.∣un+1−α∣≤∣un−α∣2|u_{n+1}-\alpha|\le |u_n-\alpha|^{2}
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15. On en déduit, pour tout nn :
  • A.∣un−α∣≤(12)n|u_n-\alpha|\le \left(\tfrac12\right)^{n}
  • B.∣un−α∣≤(12)n+1|u_n-\alpha|\le \left(\tfrac12\right)^{n+1}
  • C.∣un−α∣≤12n|u_n-\alpha|\le \tfrac{1}{2n}
  • D.∣un−α∣≤12|u_n-\alpha|\le \tfrac12
Réponse et explication dans l'app
16. Que peut-on conclure sur la suite (un)(u_n) ?
  • A.elle converge vers α\alpha
  • B.elle diverge
  • C.elle converge vers 00
  • D.elle converge vers 12\tfrac12
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Exercice 3

Exercice 1 — Analyse (Partie III)

1. Quel encadrement de F(x)F(x) a-t-on sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
  • A.0≤F(x)≤x f(x)0\le F(x)\le x\,f(x)
  • B.x f(x)≤F(x)≤0x\,f(x)\le F(x)\le 0
  • C.0≤F(x)≤f(x)0\le F(x)\le f(x)
  • D.0≤F(x)≤2x f(2x)0\le F(x)\le 2x\,f(2x)
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2. Que vaut lim⁡x→+∞F(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x) ?
  • A.00
  • B.12\frac12
  • C.+∞+\infty
  • D.11
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3. Que représente graphiquement F(x)F(x) ?
  • A.l'aire du domaine entre (C)(C), l'axe des abscisses et les droites t=xt=x, t=2xt=2x
  • B.la pente de (C)(C) en xx
  • C.la longueur de (C)(C) sur [x,2x][x,2x]
  • D.le volume engendré par (C)(C)
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4. FF est-elle dérivable sur [0,+∞[[0,+\infty[ ?
  • A.oui : ff continue admet une primitive Φ\Phi et F(x)=Φ(2x)−Φ(x)F(x)=\Phi(2x)-\Phi(x)
  • B.non, FF n'est pas dérivable
  • C.oui, mais seulement sur ]0,+∞[]0,+\infty[
  • D.non, ff n'est pas continue
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5. Que vaut F′(x)F'(x) ?
  • A.−f(x)e2x+1 (e2x−4ex+1)\dfrac{-f(x)}{e^{2x}+1}\,(e^{2x}-4e^{x}+1)
  • B.2f(2x)+f(x)2f(2x)+f(x)
  • C.f(2x)−f(x)f(2x)-f(x)
  • D.f(x)e2x+1 (e2x−4ex+1)\dfrac{f(x)}{e^{2x}+1}\,(e^{2x}-4e^{x}+1)
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6. FF admet-elle un extremum, et où ?
  • A.oui, un maximum en x0=ln⁡(2+3)x_0=\ln(2+\sqrt3)
  • B.oui, un minimum en ln⁡(2+3)\ln(2+\sqrt3)
  • C.oui, un maximum en ln⁡2\ln 2
  • D.non, FF est monotone
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Exercice 4

Exercice 2 — Nombres complexes

1. Sachant que z1+z2=2m=m‾z_1+z_2=\dfrac{2}{m}=\overline{m} et z1=m(1−i)2z_1=\dfrac{m(1-i)}{2}, que vaut z2z_2 ?
  • A.m(1+i)2\dfrac{m(1+i)}{2}
  • B.m(1−i)2\dfrac{m(1-i)}{2}
  • C.m2\dfrac{m}{2}
  • D.m(1+i)m(1+i)
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2. Quelle est la forme exponentielle de z1z_1 ?
  • A.ei(θ−π/4)e^{i(\theta-\pi/4)}
  • B.ei(θ+π/4)e^{i(\theta+\pi/4)}
  • C.2 eiθ\sqrt2\,e^{i\theta}
  • D.eiθe^{i\theta}
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3. Que vaut l'image R(M1)R(M_1) ?
  • A.M2M_2
  • B.MM
  • C.AA
  • D.OO
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4. Pourquoi (MM1)⊥(OM1)(MM_1)\perp(OM_1) ?
  • A.car m−z1z1=i∈iR∗\dfrac{m-z_1}{z_1}=i\in i\mathbb{R}^{*}
  • B.car m−z1z1=1\dfrac{m-z_1}{z_1}=1
  • C.car ∣m−z1∣=0|m-z_1|=0
  • D.car m=z1m=z_1
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5. Que valent OM1OM_1 et OM2OM_2 ?
  • A.OM1=OM2=1OM_1=OM_2=1
  • B.OM1=OM2=2OM_1=OM_2=\sqrt2
  • C.OM1=1, OM2=2OM_1=1,\ OM_2=2
  • D.OM1=OM2=2OM_1=OM_2=2
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6. Quelle est la nature du quadrilatère OM1MM2OM_1MM_2 ?
  • A.un carré
  • B.un losange non carré
  • C.un rectangle non carré
  • D.un parallélogramme quelconque
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7. Que vaut Re(m−h)\mathrm{Re}(m-h) ?
  • A.00
  • B.2cos⁡θ\sqrt2\cos\theta
  • C.11
  • D.2cos⁡θ2\cos\theta
Réponse et explication dans l'app
8. Que vaut Re ⁣(a−hm+1)\mathrm{Re}\!\left(\dfrac{a-h}{m+1}\right) ?
  • A.00
  • B.11
  • C.12\tfrac12
  • D.−1-1
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9. Que peut-on conclure sur le point HH dans le triangle ABMABM ?
  • A.HH est l'orthocentre de ABMABM
  • B.HH est le centre de gravité
  • C.HH est le centre du cercle circonscrit
  • D.HH est le milieu de [AB][AB]
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10. Que vaut h−z1z2−z1\dfrac{h-z_1}{z_2-z_1} ?
  • A.12(1−cot⁡θ)\dfrac12(1-\cot\theta)
  • B.12(1+cot⁡θ)\dfrac12(1+\cot\theta)
  • C.1−cot⁡θ1-\cot\theta
  • D.i2\dfrac{i}{2}
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11. Qu'en déduit-on pour HH, M1M_1, M2M_2 ?
  • A.ils sont alignés
  • B.ils forment un triangle équilatéral
  • C.ils forment un triangle rectangle
  • D.ils sont confondus
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Exercice 5

Exercice 3 — Arithmétique et probabilités

1. Une solution particulière (u0,v0)∈N2(u_0,v_0)\in\mathbb{N}^{2} de (F)(F) : 5u−9v=15u-9v=1 est :
  • A.(2,1)(2,1)
  • B.(1,1)(1,1)
  • C.(9,5)(9,5)
  • D.(2,2)(2,2)
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2. L'ensemble des solutions de (F)(F) est :
  • A.{(2+9k, 1+5k)∣k∈Z}\{(2+9k,\ 1+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • B.{(2+5k, 1+9k)∣k∈Z}\{(2+5k,\ 1+9k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • C.{(1+9k, 2+5k)∣k∈Z}\{(1+9k,\ 2+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • D.{(2+9k, 1−5k)∣k∈Z}\{(2+9k,\ 1-5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
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3. Vérifier que 5u0≡6 [19]5^{u_0}\equiv 6\ [19] (avec u0=2u_0=2) :
  • A.52=25≡6 [19]5^{2}=25\equiv 6\ [19]
  • B.52=25≡5 [19]5^{2}=25\equiv 5\ [19]
  • C.52=25≡7 [19]5^{2}=25\equiv 7\ [19]
  • D.52=25≡0 [19]5^{2}=25\equiv 0\ [19]
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4. Soit xx une solution de (E)(E). Que donne le petit théorème de Fermat ?
  • A.x18≡1 [19]x^{18}\equiv 1\ [19]
  • B.x19≡1 [19]x^{19}\equiv 1\ [19]
  • C.x18≡0 [19]x^{18}\equiv 0\ [19]
  • D.x17≡1 [19]x^{17}\equiv 1\ [19]
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5. En utilisant 2026=18×112+102026=18\times112+10, on obtient :
  • A.x10≡5 [19]x^{10}\equiv 5\ [19]
  • B.x10≡1 [19]x^{10}\equiv 1\ [19]
  • C.x12≡5 [19]x^{12}\equiv 5\ [19]
  • D.x10≡6 [19]x^{10}\equiv 6\ [19]
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6. On en déduit :
  • A.x2≡6 [19]x^{2}\equiv 6\ [19]
  • B.x2≡5 [19]x^{2}\equiv 5\ [19]
  • C.x2≡1 [19]x^{2}\equiv 1\ [19]
  • D.x2≡25 [19]x^{2}\equiv 25\ [19]
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7. Les solutions de (E)(E) vérifient donc :
  • A.x≡5 [19]x\equiv 5\ [19] ou x≡14 [19]x\equiv 14\ [19]
  • B.x≡6 [19]x\equiv 6\ [19] seulement
  • C.x≡5 [19]x\equiv 5\ [19] seulement
  • D.x≡0 [19]x\equiv 0\ [19]
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8. Réciproquement, si x≡±5 [19]x\equiv\pm5\ [19], alors xx est solution de (E)(E) car :
  • A.x10≡65≡5 [19]x^{10}\equiv 6^{5}\equiv 5\ [19] donc x2026≡5x^{2026}\equiv 5
  • B.x10≡6x^{10}\equiv 6 donc x2026≡6x^{2026}\equiv 6
  • C.x≡0x\equiv0
  • D.x18≡5x^{18}\equiv5
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9. La probabilité p=P(V)p=P(V) vaut :
  • A.0,110{,}11
  • B.0,050{,}05
  • C.0,190{,}19
  • D.0,100{,}10
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10. On répète nn tirages avec remise. La valeur minimale de nn telle que P(« V au moins une fois »)>0,95P(\text{« }V\text{ au moins une fois »})>0{,}95 est :
  • A.2626
  • B.2525
  • C.2020
  • D.3030
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Exercice 6

Exercice 4 — Structures algébriques

1. Que vaut M(x)×M(y)M(x)\times M(y) ?
  • A.M(x+y)M(x+y)
  • B.M(xy)M(xy)
  • C.M(x)+M(y)M(x)+M(y)
  • D.M(2xy)M(2xy)
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2. L'application φ:x↦M(x)\varphi:x\mapsto M(x) vérifie :
  • A.φ\varphi est un homomorphisme de (R,+)(\mathbb{R},+) vers (M3(R),×)(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\times) et φ(R)=E\varphi(\mathbb{R})=E
  • B.φ\varphi va de (R,×)(\mathbb{R},\times) vers (M3,×)(\mathcal{M}_3,\times)
  • C.φ\varphi n'est pas un homomorphisme
  • D.φ(R)=M3(R)\varphi(\mathbb{R})=\mathcal{M}_3(\mathbb{R})
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3. Que peut-on dire de (E,×)(E,\times) ?
  • A.c'est un groupe commutatif, d'élément neutre I=M(0)I=M(0)
  • B.c'est un groupe non commutatif
  • C.c'est un anneau non intègre
  • D.ce n'est pas un groupe
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4. Pour la loi TT, l'élément neutre de (E∖{I},T)(E\setminus\{I\},T) est :
  • A.M ⁣(12)M\!\left(\tfrac12\right)
  • B.M(1)M(1)
  • C.M(0)=IM(0)=I
  • D.M(2)M(2)
Réponse et explication dans l'app
5. Que peut-on conclure sur (E,×,T)(E,\times,T) ?
  • A.c'est un corps commutatif
  • B.c'est seulement un anneau
  • C.c'est un espace vectoriel
  • D.ce n'est pas un anneau
Réponse et explication dans l'app
6. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, (M(x))n\big(M(x)\big)^{n} vaut :
  • A.M(nx)M(nx)
  • B.M(xn)M(x^{n})
  • C.M(x)nM(x)^{n} (non simplifiable)
  • D.n M(x)n\,M(x)
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7. La solution dans EE de X3−X2=(00051−131−1)X^{3}-X^{2}=\begin{pmatrix}0&0&0\\5&1&-1\\3&1&-1\end{pmatrix} est :
  • A.X=M(−1)X=M(-1)
  • B.X=M(1)X=M(1)
  • C.X=M(−2)X=M(-2)
  • D.X=M(2)X=M(2)
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