Examen National · Session de rattrapage

Mathématiques — Examen National 2026

2ème année Bac 4hBarème 20 ptsÉnoncé officiel
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Exercice 1

Exercice 1 — Analyse (Partie I)

On pose g(t)=ln⁡(t)−(t−1)g(t)=\ln(t)-(t-1) sur ]0,+∞[]0,+\infty[. Pour x∈ ]0,+∞[∖{1}x\in\,]0,+\infty[\setminus\{1\}, on considère h(t)=g(x)(x−1)2(t−1)2−g(t)h(t)=\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)^{2}-g(t).

  1. 1. hh est dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ; que vaut h′(t)h'(t) ?
    0.5 pt
    A(2g(x)(x−1)2+1t)(t−1)\left(\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{2}}+\dfrac1t\right)(t-1)
    B2g(x)(x−1)2(t−1)−1\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)-1
    Cg(x)(x−1)2(t−1)2\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)^{2}
    D2g(x)(x−1)2(t−1)+1t\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)+\dfrac1t
  2. 2. En appliquant le théorème de Rolle à hh (car h(1)=h(x)=0h(1)=h(x)=0), il existe θ\theta entre xx et 11 tel que :
    0.5 pt
    Ag(x)(x−1)2=−12θ\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{-1}{2\theta}
    Bg(x)(x−1)2=12θ\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{1}{2\theta}
    Cg(x)(x−1)2=−2θ\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}=-2\theta
    Dg(x)=−12θg(x)=\dfrac{-1}{2\theta}
  3. 3. L'encadrement de θ\theta (strictement compris entre xx et 11) s'écrit :
    0.5 pt
    Ax+1−∣x−1∣2<θ<x+1+∣x−1∣2\dfrac{x+1-|x-1|}{2}<\theta<\dfrac{x+1+|x-1|}{2}
    B1<θ<x1<\theta<x
    Cx<θ<1x<\theta<1
    Dx−12<θ<x+12\dfrac{x-1}{2}<\theta<\dfrac{x+1}{2}
  4. 4. On en déduit l'encadrement :
    0.25 pt
    A−1x+1−∣x−1∣<g(x)(x−1)2<−1∣x−1∣+x+1\dfrac{-1}{x+1-|x-1|}<\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}<\dfrac{-1}{|x-1|+x+1}
    B0<g(x)(x−1)2<10<\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}<1
    Cg(x)(x−1)2>0\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}>0
    D−1x+1<g(x)(x−1)2<0\dfrac{-1}{x+1}<\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}<0
Exercice 2

Exercice 1 — Analyse (Partie II)

On définit ff sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par f(1)=1f(1)=1 et f(x)=(ln⁡xx−1)2f(x)=\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)^{2} sinon. (C)(C) est sa courbe. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, xnx_n est la solution de f(x)=nf(x)=n dans ]0,1[]0,1[.

  1. 1. Que valent lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) ?
    1 pt
    A+∞+\infty et 00
    B00 et +∞+\infty
    C+∞+\infty et +∞+\infty
    D11 et 00
  2. 2. ff est-elle continue en 11 ?
    0.25 pt
    Aoui : lim⁡x→1(ln⁡xx−1)2=1=f(1)\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln x}{x-1}\right)^{2}=1=f(1)
    Bnon
    Coui, mais seulement à droite
    Dnon, limite infinie
  3. 3. f(x)−1x−1\dfrac{f(x)-1}{x-1} est égal à :
    0.25 pt
    A(1+ln⁡xx−1)⋅g(x)(x−1)2\left(1+\dfrac{\ln x}{x-1}\right)\cdot\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}
    Bg(x)(x−1)2\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}
    Cln⁡xx−1\dfrac{\ln x}{x-1}
    D(1−ln⁡xx−1)g(x)x−1\left(1-\dfrac{\ln x}{x-1}\right)\dfrac{g(x)}{x-1}
  4. 4. ff est dérivable en 11 et f′(1)f'(1) vaut :
    0.25 pt
    A−1-1
    B00
    C11
    D−12-\tfrac12
  5. 5. L'équation de la tangente (T)(T) à (C)(C) au point d'abscisse 11 est :
    0.25 pt
    Ay=−x+2y=-x+2
    By=xy=x
    Cy=−x+1y=-x+1
    Dy=2x−1y=2x-1
  6. 6. Sur ]0,+∞[∖{1}]0,+\infty[\setminus\{1\}, f′(x)f'(x) est égal à :
    0.75 pt
    A2ln⁡xx−1⋅g(1/x)(x−1)2\dfrac{2\ln x}{x-1}\cdot\dfrac{g(1/x)}{(x-1)^{2}}
    B2ln⁡x(x−1)2\dfrac{2\ln x}{(x-1)^{2}}
    Cln⁡xx−1⋅g(x)(x−1)2\dfrac{\ln x}{x-1}\cdot\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}
    D2g(x)(x−1)3\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{3}}
  7. 7. Quel est le signe de ln⁡xx−1\dfrac{\ln x}{x-1} sur ]0,1[∪]1,+∞[]0,1[\cup]1,+\infty[ ?
    0.25 pt
    Astrictement positif
    Bstrictement négatif
    Cdu signe de x−1x-1
    Dnul
  8. 8. Quel est le signe de gg sur ]0,+∞[]0,+\infty[, et le sens de variation de ff ?
    0.5 pt
    Ag≤0g\le 0 (max g(1)=0g(1)=0), donc ff est strictement décroissante
    Bg≥0g\ge0, ff croissante
    Cgg change de signe, ff non monotone
    Dg≤0g\le0, ff croissante
  9. 9. Combien de solutions l'équation f(x)=xf(x)=x admet-elle sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ?
    0.25 pt
    Aune seule : x=1x=1
    Baucune
    Cdeux
    Dune infinité
  10. 10. La courbe (C)(C) admet pour asymptotes :
    0.75 pt
    Ales axes x=0x=0 (verticale) et y=0y=0 (horizontale)
    Bseulement y=0y=0
    Cseulement x=0x=0
    Dla droite y=xy=x
  11. 11. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, l'équation f(x)=nf(x)=n admet sur ]0,1[]0,1[ :
    0.25 pt
    Aune unique solution xnx_n
    Baucune solution
    Cexactement deux solutions
    Dnn solutions
  12. 12. Que vaut lim⁡n→+∞xn\displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_n ?
    0.5 pt
    A00
    B11
    C12\frac12
    D+∞+\infty
  13. 13. Sachant n=ln⁡xnxn−1\sqrt n=\dfrac{\ln x_n}{x_n-1}, que vaut lim⁡n→+∞xnn\displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_n\sqrt n ?
    0.5 pt
    A00
    B11
    C+∞+\infty
    D12\frac12
Exercice 3

Exercice 2 — Analyse (intégrales et suites)

Soit φ\varphi dérivable sur [0,1][0,1], de dérivée φ′\varphi' continue. On étudie ∫01xnφ(x) dx\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx et les suites un=∫01nxn1+2x dxu_n=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{n x^{n}}{1+2x}\,dx, vn=2n+1n∫01/2xnarctan⁡(2x) dxv_n=2^{n+1}n\displaystyle\int_0^{1/2} x^{n}\arctan(2x)\,dx.

  1. 1. On a ∫01xnφ(x) dx\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx égal à :
    0.5 pt
    Aφ(1)n+1+∫01xn(φ(x)−φ(1)) dx\dfrac{\varphi(1)}{n+1}+\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\big(\varphi(x)-\varphi(1)\big)\,dx
    Bφ(1)n+1\dfrac{\varphi(1)}{n+1}
    C∫01xnφ(1) dx\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(1)\,dx
    Dφ(0)n+1+∫01xnφ(x) dx\dfrac{\varphi(0)}{n+1}+\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx
  2. 2. Pourquoi existe-t-il M≥0M\ge0 tel que ∣φ′(x)∣≤M|\varphi'(x)|\le M sur [0,1][0,1] ?
    0.5 pt
    Acar φ′\varphi' est continue sur le segment [0,1][0,1], donc bornée
    Bcar φ\varphi est croissante
    Ccar φ′(1)=0\varphi'(1)=0
    Dcar φ\varphi est polynomiale
  3. 3. On en déduit, pour tout x∈[0,1]x\in[0,1] :
    0.5 pt
    A∣φ(x)−φ(1)∣≤M(1−x)|\varphi(x)-\varphi(1)|\le M(1-x)
    B∣φ(x)−φ(1)∣≤M|\varphi(x)-\varphi(1)|\le M
    C∣φ(x)−φ(1)∣≤Mx|\varphi(x)-\varphi(1)|\le Mx
    D∣φ(x)∣≤M|\varphi(x)|\le M
  4. 4. Que vaut lim⁡n→+∞n∫01xnφ(x) dx\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx ?
    0.5 pt
    Aφ(1)\varphi(1)
    Bφ(0)\varphi(0)
    C00
    D+∞+\infty
  5. 5. On en déduit lim⁡n→+∞unvn\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n} :
    0.5 pt
    A43π\dfrac{4}{3\pi}
    B34π\dfrac{3}{4\pi}
    C13\dfrac{1}{3}
    Dπ4\dfrac{\pi}{4}
Exercice 4

Exercice 3 — Nombres complexes

Partie I : (Em):z3−(1+(1+i)m)z2+((1+i)m+im2)z−im2=0(E_m): z^{3}-(1+(1+i)m)z^{2}+((1+i)m+im^{2})z-im^{2}=0, m∈C∗∖{1,−i}m\in\mathbb{C}^{*}\setminus\{1,-i\}. Partie II : ∣m∣=1|m|=1, m∉{−i,i,−1,1}m\notin\{-i,i,-1,1\} ; points A,B,C,E,FA,B,C,E,F d'affixes a=ma=m, b=1b=1, c=imc=im, e=12(1+i)(m−i)e=\tfrac12(1+i)(m-i), f=12(1+i)(1+m)f=\tfrac12(1+i)(1+m).

  1. 1. Parmi ces complexes, lesquels sont des solutions (évidentes) de (Em)(E_m) ?
    0.25 pt
    A11 et mm
    B11 et ii
    Cmm et −i-i
    D00 et 11
  2. 2. L'ensemble des solutions de (Em)(E_m) est :
    0.25 pt
    A{1, m, im}\{1,\ m,\ im\}
    B{1, m, −im}\{1,\ m,\ -im\}
    C{1, −m, im}\{1,\ -m,\ im\}
    D{1, m, i}\{1,\ m,\ i\}
  3. 3. Pour ∣m∣=1|m|=1, le nombre m+i1+im\dfrac{m+i}{1+im} est :
    0.5 pt
    Aréel
    Bimaginaire pur
    Cde module 22
    Dégal à mm
  4. 4. Le nombre (1+i)m−1m+i(1+i)\dfrac{m-1}{m+i} est :
    0.25 pt
    Aimaginaire pur
    Bréel
    Cnul
    Dégal à 11
  5. 5. Que vaut e−ce−b\dfrac{e-c}{e-b} ?
    0.5 pt
    A−i m+1m−1-i\,\dfrac{m+1}{m-1}
    B−i m−1m+1-i\,\dfrac{m-1}{m+1}
    Ci m+1m−1i\,\dfrac{m+1}{m-1}
    Dm+1m−1\dfrac{m+1}{m-1}
  6. 6. On en déduit que le point EE :
    0.25 pt
    Aappartient à la droite (BC)(BC)
    Best le milieu de [BC][BC]
    Cest confondu avec AA
    Dn'est pas défini
  7. 7. Que vaut e−ac−b\dfrac{e-a}{c-b} ?
    0.5 pt
    A12(1+i)m−1m+i\tfrac12(1+i)\dfrac{m-1}{m+i}
    B12(1−i)m−1m+i\tfrac12(1-i)\dfrac{m-1}{m+i}
    C(1+i)m−1m+i(1+i)\dfrac{m-1}{m+i}
    D12(1+i)m+im−1\tfrac12(1+i)\dfrac{m+i}{m-1}
  8. 8. On en déduit :
    0.25 pt
    A(AE)⊥(BC)(AE)\perp(BC)
    B(AE)∥(BC)(AE)\parallel(BC)
    CA=EA=E
    D(AE)⊥(AC)(AE)\perp(AC)
  9. 9. Que vaut f−cf−a\dfrac{f-c}{f-a} ?
    0.25 pt
    A−i m+i1+im-i\,\dfrac{m+i}{1+im}
    B−i 1+imm+i-i\,\dfrac{1+im}{m+i}
    Ci m+i1+imi\,\dfrac{m+i}{1+im}
    Dm+i1+im\dfrac{m+i}{1+im}
  10. 10. On en déduit que les points AA, EE, CC, FF sont :
    0.5 pt
    Acocycliques
    Balignés
    Cles sommets d'un carré
    Dconfondus
Exercice 5

Exercice 4 — Arithmétique et probabilités

Partie I : (E):5x−6y=2(E): 5x-6y=2 dans Z2\mathbb{Z}^{2}. Partie II : Sb(n)S_b(n) est la somme des chiffres de nn en base bb. Partie III : urne de 2525 boules numérotées 11 à 2525, deux tirages successifs avec remise donnant (x,y)(x,y) ; VV : « (x,y)(x,y) est solution de (E)(E) ».

  1. 1. L'ensemble des solutions de (E):5x−6y=2(E): 5x-6y=2 est :
    0.25 pt
    A{(4+6k, 3+5k)∣k∈Z}\{(4+6k,\ 3+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    B{(4+5k, 3+6k)∣k∈Z}\{(4+5k,\ 3+6k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    C{(3+6k, 4+5k)∣k∈Z}\{(3+6k,\ 4+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
    D{(4+6k, 3−5k)∣k∈Z}\{(4+6k,\ 3-5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  2. 2. Si d=gcd⁡(x,y)d=\gcd(x,y) pour une solution (x,y)(x,y), les valeurs possibles de dd sont :
    0.25 pt
    A11 ou 22
    B11 seulement
    C11, 22 ou 33
    Dtoujours 22
  3. 3. Les couples pour lesquels d=1d=1 sont :
    0.25 pt
    Aceux avec kk pair : (4+12p, 3+10p)(4+12p,\ 3+10p)
    Bceux avec kk impair
    Ctous les couples
    Daucun couple
  4. 4. Que vaut Sb(n)S_b(n) modulo b−1b-1 ?
    0.5 pt
    ASb(n)≡n [b−1]S_b(n)\equiv n\ [b-1]
    BSb(n)≡0 [b−1]S_b(n)\equiv 0\ [b-1]
    CSb(n)≡b [b−1]S_b(n)\equiv b\ [b-1]
    DSb(n)≡1 [b−1]S_b(n)\equiv 1\ [b-1]
  5. 5. Si (S5(n),S6(n))(S_5(n),S_6(n)) est solution de (E)(E) avec S5(n)∧S6(n)=1S_5(n)\wedge S_6(n)=1, alors :
    0.25 pt
    An≡0 [4]n\equiv 0\ [4] et n≡3 [5]n\equiv 3\ [5]
    Bn≡3 [4]n\equiv 3\ [4] et n≡0 [5]n\equiv 0\ [5]
    Cn≡0 [4]n\equiv 0\ [4] et n≡0 [5]n\equiv 0\ [5]
    Dn≡1 [4]n\equiv 1\ [4] et n≡3 [5]n\equiv 3\ [5]
  6. 6. On en déduit :
    0.25 pt
    An≡8 [20]n\equiv 8\ [20]
    Bn≡3 [20]n\equiv 3\ [20]
    Cn≡0 [20]n\equiv 0\ [20]
    Dn≡13 [20]n\equiv 13\ [20]
  7. 7. Que valent S5(28)S_5(28) et S6(28)S_6(28) ?
    0.5 pt
    A44 et 88
    B33 et 88
    C44 et 44
    D11 et 88
  8. 8. Le couple (S5(28),S6(28))=(4,8)(S_5(28),S_6(28))=(4,8) est-il solution de (E)(E) ?
    0.25 pt
    ANon : 5×4−6×8=−28≠25\times4-6\times8=-28\ne2
    BOui
    CNon, car 8>48>4
    DOui, car gcd⁡=4\gcd=4
  9. 9. La probabilité p=P(V)p=P(V) vaut :
    0.25 pt
    A64⋅10−464\cdot10^{-4}
    B4⋅10−44\cdot10^{-4}
    C16⋅10−416\cdot10^{-4}
    D0,250{,}25
  10. 10. En répétant 1010 fois, P(V exactement 2 fois)P(V\text{ exactement }2\text{ fois}) vaut :
    0.25 pt
    A(102)(0,0064)2(0,9936)8\binom{10}{2}(0{,}0064)^{2}(0{,}9936)^{8}
    B(102)(0,0064)8(0,9936)2\binom{10}{2}(0{,}0064)^{8}(0{,}9936)^{2}
    C(0,0064)2(0{,}0064)^{2}
    D(102)(0,0064)2\binom{10}{2}(0{,}0064)^{2}
Exercice 6

Exercice 5 — Structures algébriques

Soit a∈R∗∖{1}a\in\mathbb{R}^{*}\setminus\{1\}. Pour x∈Rx\in\mathbb{R}, M(x)=(axax−1001000ax)M(x)=\begin{pmatrix}a^{x}&a^{x}-1&0\\0&1&0\\0&0&a^{x}\end{pmatrix} et E={M(x)∣x∈R}E=\{M(x)\mid x\in\mathbb{R}\}. On munit aussi EE de la loi TT : M(x) T M(y)=M ⁣(xy2)M(x)\,T\,M(y)=M\!\left(\tfrac{xy}{\sqrt2}\right).

  1. 1. Que vaut M(x)×M(y)M(x)\times M(y) ?
    0.5 pt
    AM(x+y)M(x+y)
    BM(xy)M(xy)
    CM(x)+M(y)M(x)+M(y)
    DM(2xy)M(2xy)
  2. 2. L'application φ:x↦M(x)\varphi:x\mapsto M(x) est :
    0.5 pt
    Aun isomorphisme de (R,+)(\mathbb{R},+) vers (E,×)(E,\times)
    Bun homomorphisme non injectif
    Cune application non surjective sur EE
    Dnon compatible avec les lois
  3. 3. Que peut-on dire de (E,×)(E,\times) ?
    0.25 pt
    Ac'est un groupe commutatif, de neutre I=M(0)I=M(0)
    Bc'est un groupe non commutatif
    Cc'est un anneau
    Dce n'est pas un groupe
  4. 4. Pour a=5a=5, A=(125−2425001000125)A=\begin{pmatrix}\frac1{25}&-\frac{24}{25}&0\\0&1&0\\0&0&\frac1{25}\end{pmatrix} et B=(252400100025)B=\begin{pmatrix}25&24&0\\0&1&0\\0&0&25\end{pmatrix} s'écrivent :
    0.5 pt
    AA=M(−2)A=M(-2) et B=M(2)B=M(2)
    BA=M(2)A=M(2) et B=M(−2)B=M(-2)
    CA=M(−2)A=M(-2) et B=M(−2)B=M(-2)
    DA=M(5)A=M(5) et B=M(2)B=M(2)
  5. 5. La solution dans EE de A5×X6=B2026A^{5}\times X^{6}=B^{2026} (avec a=5a=5) est :
    0.75 pt
    AX=M(677)X=M(677)
    BX=M(676)X=M(676)
    CX=M(4052)X=M(4052)
    DX=M(−10)X=M(-10)
  6. 6. Pour la loi TT (M(x) T M(y)=M(xy2)M(x)\,T\,M(y)=M(\tfrac{xy}{\sqrt2})), le neutre de (E∖{I},T)(E\setminus\{I\},T) est :
    0.5 pt
    AM(2)M(\sqrt2)
    BM(1)M(1)
    CM(0)=IM(0)=I
    DM(2)M(2)
  7. 7. Que peut-on conclure sur (E,×,T)(E,\times,T) ?
    0.5 pt
    Ac'est un corps commutatif
    Bc'est seulement un anneau
    Cc'est un espace vectoriel
    Dce n'est pas un anneau

Comprends chaque question, pas seulement la réponse

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