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Correction — Mathématiques 2026

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Aperçu du corrigé

h'(t)=\frac{2g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)-g'(t) avec g'(t)=\frac{1-t}{t}, ce qui se factorise en \left(\frac{2g(x)}{(x-1)^{2}}+\frac1t\right)(t-1).…

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Exercice 1

Exercice 1 — Analyse (Partie I)

1. hh est dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ; que vaut h′(t)h'(t) ?
  • A.(2g(x)(x−1)2+1t)(t−1)\left(\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{2}}+\dfrac1t\right)(t-1)
  • B.2g(x)(x−1)2(t−1)−1\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)-1
  • C.g(x)(x−1)2(t−1)2\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)^{2}
  • D.2g(x)(x−1)2(t−1)+1t\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{2}}(t-1)+\dfrac1t
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2. En appliquant le théorème de Rolle à hh (car h(1)=h(x)=0h(1)=h(x)=0), il existe θ\theta entre xx et 11 tel que :
  • A.g(x)(x−1)2=−12θ\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{-1}{2\theta}
  • B.g(x)(x−1)2=12θ\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{1}{2\theta}
  • C.g(x)(x−1)2=−2θ\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}=-2\theta
  • D.g(x)=−12θg(x)=\dfrac{-1}{2\theta}
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3. L'encadrement de θ\theta (strictement compris entre xx et 11) s'écrit :
  • A.x+1−∣x−1∣2<θ<x+1+∣x−1∣2\dfrac{x+1-|x-1|}{2}<\theta<\dfrac{x+1+|x-1|}{2}
  • B.1<θ<x1<\theta<x
  • C.x<θ<1x<\theta<1
  • D.x−12<θ<x+12\dfrac{x-1}{2}<\theta<\dfrac{x+1}{2}
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4. On en déduit l'encadrement :
  • A.−1x+1−∣x−1∣<g(x)(x−1)2<−1∣x−1∣+x+1\dfrac{-1}{x+1-|x-1|}<\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}<\dfrac{-1}{|x-1|+x+1}
  • B.0<g(x)(x−1)2<10<\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}<1
  • C.g(x)(x−1)2>0\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}>0
  • D.−1x+1<g(x)(x−1)2<0\dfrac{-1}{x+1}<\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}<0
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Exercice 2

Exercice 1 — Analyse (Partie II)

1. Que valent lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) ?
  • A.+∞+\infty et 00
  • B.00 et +∞+\infty
  • C.+∞+\infty et +∞+\infty
  • D.11 et 00
Réponse et explication dans l'app
2. ff est-elle continue en 11 ?
  • A.oui : lim⁡x→1(ln⁡xx−1)2=1=f(1)\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln x}{x-1}\right)^{2}=1=f(1)
  • B.non
  • C.oui, mais seulement à droite
  • D.non, limite infinie
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3. f(x)−1x−1\dfrac{f(x)-1}{x-1} est égal à :
  • A.(1+ln⁡xx−1)⋅g(x)(x−1)2\left(1+\dfrac{\ln x}{x-1}\right)\cdot\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}
  • B.g(x)(x−1)2\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}
  • C.ln⁡xx−1\dfrac{\ln x}{x-1}
  • D.(1−ln⁡xx−1)g(x)x−1\left(1-\dfrac{\ln x}{x-1}\right)\dfrac{g(x)}{x-1}
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4. ff est dérivable en 11 et f′(1)f'(1) vaut :
  • A.−1-1
  • B.00
  • C.11
  • D.−12-\tfrac12
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5. L'équation de la tangente (T)(T) à (C)(C) au point d'abscisse 11 est :
  • A.y=−x+2y=-x+2
  • B.y=xy=x
  • C.y=−x+1y=-x+1
  • D.y=2x−1y=2x-1
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6. Sur ]0,+∞[∖{1}]0,+\infty[\setminus\{1\}, f′(x)f'(x) est égal à :
  • A.2ln⁡xx−1⋅g(1/x)(x−1)2\dfrac{2\ln x}{x-1}\cdot\dfrac{g(1/x)}{(x-1)^{2}}
  • B.2ln⁡x(x−1)2\dfrac{2\ln x}{(x-1)^{2}}
  • C.ln⁡xx−1⋅g(x)(x−1)2\dfrac{\ln x}{x-1}\cdot\dfrac{g(x)}{(x-1)^{2}}
  • D.2g(x)(x−1)3\dfrac{2g(x)}{(x-1)^{3}}
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7. Quel est le signe de ln⁡xx−1\dfrac{\ln x}{x-1} sur ]0,1[∪]1,+∞[]0,1[\cup]1,+\infty[ ?
  • A.strictement positif
  • B.strictement négatif
  • C.du signe de x−1x-1
  • D.nul
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8. Quel est le signe de gg sur ]0,+∞[]0,+\infty[, et le sens de variation de ff ?
  • A.g≤0g\le 0 (max g(1)=0g(1)=0), donc ff est strictement décroissante
  • B.g≥0g\ge0, ff croissante
  • C.gg change de signe, ff non monotone
  • D.g≤0g\le0, ff croissante
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9. Combien de solutions l'équation f(x)=xf(x)=x admet-elle sur ]0,+∞[]0,+\infty[ ?
  • A.une seule : x=1x=1
  • B.aucune
  • C.deux
  • D.une infinité
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10. La courbe (C)(C) admet pour asymptotes :
  • A.les axes x=0x=0 (verticale) et y=0y=0 (horizontale)
  • B.seulement y=0y=0
  • C.seulement x=0x=0
  • D.la droite y=xy=x
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11. Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, l'équation f(x)=nf(x)=n admet sur ]0,1[]0,1[ :
  • A.une unique solution xnx_n
  • B.aucune solution
  • C.exactement deux solutions
  • D.nn solutions
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12. Que vaut lim⁡n→+∞xn\displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_n ?
  • A.00
  • B.11
  • C.12\frac12
  • D.+∞+\infty
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13. Sachant n=ln⁡xnxn−1\sqrt n=\dfrac{\ln x_n}{x_n-1}, que vaut lim⁡n→+∞xnn\displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_n\sqrt n ?
  • A.00
  • B.11
  • C.+∞+\infty
  • D.12\frac12
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Exercice 3

Exercice 2 — Analyse (intégrales et suites)

1. On a ∫01xnφ(x) dx\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx égal à :
  • A.φ(1)n+1+∫01xn(φ(x)−φ(1)) dx\dfrac{\varphi(1)}{n+1}+\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\big(\varphi(x)-\varphi(1)\big)\,dx
  • B.φ(1)n+1\dfrac{\varphi(1)}{n+1}
  • C.∫01xnφ(1) dx\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(1)\,dx
  • D.φ(0)n+1+∫01xnφ(x) dx\dfrac{\varphi(0)}{n+1}+\displaystyle\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx
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2. Pourquoi existe-t-il M≥0M\ge0 tel que ∣φ′(x)∣≤M|\varphi'(x)|\le M sur [0,1][0,1] ?
  • A.car φ′\varphi' est continue sur le segment [0,1][0,1], donc bornée
  • B.car φ\varphi est croissante
  • C.car φ′(1)=0\varphi'(1)=0
  • D.car φ\varphi est polynomiale
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3. On en déduit, pour tout x∈[0,1]x\in[0,1] :
  • A.∣φ(x)−φ(1)∣≤M(1−x)|\varphi(x)-\varphi(1)|\le M(1-x)
  • B.∣φ(x)−φ(1)∣≤M|\varphi(x)-\varphi(1)|\le M
  • C.∣φ(x)−φ(1)∣≤Mx|\varphi(x)-\varphi(1)|\le Mx
  • D.∣φ(x)∣≤M|\varphi(x)|\le M
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4. Que vaut lim⁡n→+∞n∫01xnφ(x) dx\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n\int_0^{1} x^{n}\varphi(x)\,dx ?
  • A.φ(1)\varphi(1)
  • B.φ(0)\varphi(0)
  • C.00
  • D.+∞+\infty
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5. On en déduit lim⁡n→+∞unvn\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n} :
  • A.43π\dfrac{4}{3\pi}
  • B.34π\dfrac{3}{4\pi}
  • C.13\dfrac{1}{3}
  • D.π4\dfrac{\pi}{4}
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Exercice 4

Exercice 3 — Nombres complexes

1. Parmi ces complexes, lesquels sont des solutions (évidentes) de (Em)(E_m) ?
  • A.11 et mm
  • B.11 et ii
  • C.mm et −i-i
  • D.00 et 11
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2. L'ensemble des solutions de (Em)(E_m) est :
  • A.{1, m, im}\{1,\ m,\ im\}
  • B.{1, m, −im}\{1,\ m,\ -im\}
  • C.{1, −m, im}\{1,\ -m,\ im\}
  • D.{1, m, i}\{1,\ m,\ i\}
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3. Pour ∣m∣=1|m|=1, le nombre m+i1+im\dfrac{m+i}{1+im} est :
  • A.réel
  • B.imaginaire pur
  • C.de module 22
  • D.égal à mm
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4. Le nombre (1+i)m−1m+i(1+i)\dfrac{m-1}{m+i} est :
  • A.imaginaire pur
  • B.réel
  • C.nul
  • D.égal à 11
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5. Que vaut e−ce−b\dfrac{e-c}{e-b} ?
  • A.−i m+1m−1-i\,\dfrac{m+1}{m-1}
  • B.−i m−1m+1-i\,\dfrac{m-1}{m+1}
  • C.i m+1m−1i\,\dfrac{m+1}{m-1}
  • D.m+1m−1\dfrac{m+1}{m-1}
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6. On en déduit que le point EE :
  • A.appartient à la droite (BC)(BC)
  • B.est le milieu de [BC][BC]
  • C.est confondu avec AA
  • D.n'est pas défini
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7. Que vaut e−ac−b\dfrac{e-a}{c-b} ?
  • A.12(1+i)m−1m+i\tfrac12(1+i)\dfrac{m-1}{m+i}
  • B.12(1−i)m−1m+i\tfrac12(1-i)\dfrac{m-1}{m+i}
  • C.(1+i)m−1m+i(1+i)\dfrac{m-1}{m+i}
  • D.12(1+i)m+im−1\tfrac12(1+i)\dfrac{m+i}{m-1}
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8. On en déduit :
  • A.(AE)⊥(BC)(AE)\perp(BC)
  • B.(AE)∥(BC)(AE)\parallel(BC)
  • C.A=EA=E
  • D.(AE)⊥(AC)(AE)\perp(AC)
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9. Que vaut f−cf−a\dfrac{f-c}{f-a} ?
  • A.−i m+i1+im-i\,\dfrac{m+i}{1+im}
  • B.−i 1+imm+i-i\,\dfrac{1+im}{m+i}
  • C.i m+i1+imi\,\dfrac{m+i}{1+im}
  • D.m+i1+im\dfrac{m+i}{1+im}
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10. On en déduit que les points AA, EE, CC, FF sont :
  • A.cocycliques
  • B.alignés
  • C.les sommets d'un carré
  • D.confondus
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Exercice 5

Exercice 4 — Arithmétique et probabilités

1. L'ensemble des solutions de (E):5x−6y=2(E): 5x-6y=2 est :
  • A.{(4+6k, 3+5k)∣k∈Z}\{(4+6k,\ 3+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • B.{(4+5k, 3+6k)∣k∈Z}\{(4+5k,\ 3+6k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • C.{(3+6k, 4+5k)∣k∈Z}\{(3+6k,\ 4+5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
  • D.{(4+6k, 3−5k)∣k∈Z}\{(4+6k,\ 3-5k)\mid k\in\mathbb{Z}\}
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2. Si d=gcd⁡(x,y)d=\gcd(x,y) pour une solution (x,y)(x,y), les valeurs possibles de dd sont :
  • A.11 ou 22
  • B.11 seulement
  • C.11, 22 ou 33
  • D.toujours 22
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3. Les couples pour lesquels d=1d=1 sont :
  • A.ceux avec kk pair : (4+12p, 3+10p)(4+12p,\ 3+10p)
  • B.ceux avec kk impair
  • C.tous les couples
  • D.aucun couple
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4. Que vaut Sb(n)S_b(n) modulo b−1b-1 ?
  • A.Sb(n)≡n [b−1]S_b(n)\equiv n\ [b-1]
  • B.Sb(n)≡0 [b−1]S_b(n)\equiv 0\ [b-1]
  • C.Sb(n)≡b [b−1]S_b(n)\equiv b\ [b-1]
  • D.Sb(n)≡1 [b−1]S_b(n)\equiv 1\ [b-1]
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5. Si (S5(n),S6(n))(S_5(n),S_6(n)) est solution de (E)(E) avec S5(n)∧S6(n)=1S_5(n)\wedge S_6(n)=1, alors :
  • A.n≡0 [4]n\equiv 0\ [4] et n≡3 [5]n\equiv 3\ [5]
  • B.n≡3 [4]n\equiv 3\ [4] et n≡0 [5]n\equiv 0\ [5]
  • C.n≡0 [4]n\equiv 0\ [4] et n≡0 [5]n\equiv 0\ [5]
  • D.n≡1 [4]n\equiv 1\ [4] et n≡3 [5]n\equiv 3\ [5]
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6. On en déduit :
  • A.n≡8 [20]n\equiv 8\ [20]
  • B.n≡3 [20]n\equiv 3\ [20]
  • C.n≡0 [20]n\equiv 0\ [20]
  • D.n≡13 [20]n\equiv 13\ [20]
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7. Que valent S5(28)S_5(28) et S6(28)S_6(28) ?
  • A.44 et 88
  • B.33 et 88
  • C.44 et 44
  • D.11 et 88
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8. Le couple (S5(28),S6(28))=(4,8)(S_5(28),S_6(28))=(4,8) est-il solution de (E)(E) ?
  • A.Non : 5×4−6×8=−28≠25\times4-6\times8=-28\ne2
  • B.Oui
  • C.Non, car 8>48>4
  • D.Oui, car gcd⁡=4\gcd=4
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9. La probabilité p=P(V)p=P(V) vaut :
  • A.64⋅10−464\cdot10^{-4}
  • B.4⋅10−44\cdot10^{-4}
  • C.16⋅10−416\cdot10^{-4}
  • D.0,250{,}25
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10. En répétant 1010 fois, P(V exactement 2 fois)P(V\text{ exactement }2\text{ fois}) vaut :
  • A.(102)(0,0064)2(0,9936)8\binom{10}{2}(0{,}0064)^{2}(0{,}9936)^{8}
  • B.(102)(0,0064)8(0,9936)2\binom{10}{2}(0{,}0064)^{8}(0{,}9936)^{2}
  • C.(0,0064)2(0{,}0064)^{2}
  • D.(102)(0,0064)2\binom{10}{2}(0{,}0064)^{2}
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Exercice 6

Exercice 5 — Structures algébriques

1. Que vaut M(x)×M(y)M(x)\times M(y) ?
  • A.M(x+y)M(x+y)
  • B.M(xy)M(xy)
  • C.M(x)+M(y)M(x)+M(y)
  • D.M(2xy)M(2xy)
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2. L'application φ:x↦M(x)\varphi:x\mapsto M(x) est :
  • A.un isomorphisme de (R,+)(\mathbb{R},+) vers (E,×)(E,\times)
  • B.un homomorphisme non injectif
  • C.une application non surjective sur EE
  • D.non compatible avec les lois
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3. Que peut-on dire de (E,×)(E,\times) ?
  • A.c'est un groupe commutatif, de neutre I=M(0)I=M(0)
  • B.c'est un groupe non commutatif
  • C.c'est un anneau
  • D.ce n'est pas un groupe
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4. Pour a=5a=5, A=(125−2425001000125)A=\begin{pmatrix}\frac1{25}&-\frac{24}{25}&0\\0&1&0\\0&0&\frac1{25}\end{pmatrix} et B=(252400100025)B=\begin{pmatrix}25&24&0\\0&1&0\\0&0&25\end{pmatrix} s'écrivent :
  • A.A=M(−2)A=M(-2) et B=M(2)B=M(2)
  • B.A=M(2)A=M(2) et B=M(−2)B=M(-2)
  • C.A=M(−2)A=M(-2) et B=M(−2)B=M(-2)
  • D.A=M(5)A=M(5) et B=M(2)B=M(2)
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5. La solution dans EE de A5×X6=B2026A^{5}\times X^{6}=B^{2026} (avec a=5a=5) est :
  • A.X=M(677)X=M(677)
  • B.X=M(676)X=M(676)
  • C.X=M(4052)X=M(4052)
  • D.X=M(−10)X=M(-10)
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6. Pour la loi TT (M(x) T M(y)=M(xy2)M(x)\,T\,M(y)=M(\tfrac{xy}{\sqrt2})), le neutre de (E∖{I},T)(E\setminus\{I\},T) est :
  • A.M(2)M(\sqrt2)
  • B.M(1)M(1)
  • C.M(0)=IM(0)=I
  • D.M(2)M(2)
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7. Que peut-on conclure sur (E,×,T)(E,\times,T) ?
  • A.c'est un corps commutatif
  • B.c'est seulement un anneau
  • C.c'est un espace vectoriel
  • D.ce n'est pas un anneau
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